Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Ta có \({\left( {x - 2y} \right)^3} = {x^3} - 3.{x^2}.2y + 3x.{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3}\)\( = {x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}\)

Ta có \(8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = {\left( {2x} \right)^3} + 3{\left( {2x} \right)^2}.3 + 3.2x{.3^2} + {3^3} = {\left( {2x + 3} \right)^3}\)

Ta có \(8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}y + 3.2x.{y^2} - {y^3}\)\( = {\left( {2x - y} \right)^3}\)

Ta có \(\left( {3x - 4} \right)\left( {9{x^2} + 12x + 16} \right) = \left( {3x - 4} \right)\left( {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3x.4 + {4^2}} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^3} - {4^3}\)

Ta có \(\left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{4} - 3y + 36} \right)\)\( = \left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2} - \dfrac{y}{2}.6 + {6^2}} \right)\)\( = {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {6^3}\)

Ta có \({x^3} - 12{x^2} + 48x - 64 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} - {4^3} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy \(x = 4\)

Ta có \({\left( {x + 1} \right)^3} - {x^2}\left( {x + 3} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} - 3{x^2} = 2\)\( \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}.\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{3}\) .

Ta có \(B = {x^3} - 6{x^2} + 12x + 10\)\( = {x^3} - 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} - 8 + 18 = {\left( {x - 2} \right)^3} + 18\)

Thay \(x = 1002\) vào \(B = {\left( {x - 2} \right)^3} + 18\) ta được \(B = {\left( {1002 - 2} \right)^3} + 18 = {1000^3} + 18\)

Ta có \(H = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - {\left( {2x + 1} \right)^3} + 7{\left( {x - 1} \right)^3} - 3x\left( { - 11x + 5} \right)\)

\( = {x^3} + {5^3} - \left( {8{x^3} + 3.{{\left( {2x} \right)}^2}.1 + 3.2x{{.1}^2} + 1} \right) + 7\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 33{x^2} - 15x\)

\( = {x^3} +125 - 8{x^3} - 12{x^2} - 6x - 1 + 7{x^3} - 21{x^2} + 21x - 7 + 33{x^2} - 15x\)

\( = \left( {{x^3} - 8{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - 12{x^2} - 21{x^2} + 33{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 21x - 15x} \right) +125- 1 - 7\)

\( =  117\)

Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.

Ta có  \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)\( = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)

Suy ra \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Hay \(Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Thay  \(a + b = 5\) và \(a.b =  - 3\) vào \(Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) ta được \(Q = {5^3} - 3.\left( { - 3} \right).5 = 170\)

Vậy \(Q = 170\)

Ta có \(M = 8\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right)\)

\( = 8\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{{\left( {2x} \right)}^3} - 1} \right) \)\(= 8{x^3} - 8 - 8{x^3} + 1 =  - 7\)  nên \(M =  - 7\)

+) \(N = x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - 4x\)\( = x\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^3} + {3^3}} \right) + 4x\)\( = {x^3} - 4x - {x^3} - 27 + 4x\)\( =  - 27\)

\( \Rightarrow N =  - 27\)

Vậy \(M = N + 20\) .

 Ta có

\(\begin{array}{l}A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = \left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = {x^3} + {3^3} - 54 - {x^3}\\A = 27 - 54 =  - 27\end{array}\)

Vậy \(A =  - 27\) .

Ta có \(A = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} + 12{x^2} - 12xy + 3{y^2} + 6x - 3y + 11\)

\( = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.y + {y^3} + 3\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) + 3\left( {2x - y} \right) + 11\)

\( = {\left( {2x - y} \right)^3} + 3{\left( {2x - y} \right)^2} + 3\left( {2x - y} \right) + 1 + 10\)

\( = {\left( {2x - y + 1} \right)^3} + 10\)

Thay \(2x - y = 9\) vào \(A = {\left( {2x - y + 1} \right)^3} + 10\) ta được \(A = {\left( {9 + 1} \right)^3} + 10 = 1010\)

Vậy \(A = 1010.\) .

Ta có \({\left( { - b - a} \right)^3}\)\( = {\left[ { - \left( {a + b} \right)} \right]^3}\)\( =  - {\left( {a + b} \right)^3} \)\( =  - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\) \( =  - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3} \)\( =  - {a^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - {b^3}\) nên A đúng.

+ Xét  \({\left( {c - d} \right)^3} \)\( = {c^3} - 3{c^2}d + 3c{d^2} + {d^3} \)\( = {c^3} - {d^3} + 3cd\left( {d - c} \right)\) nên B đúng.

+ Xét \({\left( {y - 1} \right)^3} \)\( = {y^3} - 3{y^2}.1 + 3y{.1^2} - {1^3}\)\( = {y^3} - 1 - 3y\left( {y - 1} \right)\) nên D đúng.

+ Xét \({\left( {y - 2} \right)^3} \)\( = {y^3} - 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} - {2^3}\)\( = {y^3} - 6{y^2} + 12y - 8 \)\( = {y^3} - 8 - 6y\left( {y - 2} \right) \)\( \ne {y^3} - 8 - 6y\left( {y + 2} \right)\)

nên C sai.

Ta có

\({\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) nên phương án C sai, A đúng.

\({\left( {A - B} \right)^3} \)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) nên phương án B sai, D sai

Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B  đúng.

Vì \(A + B = B + A \)

\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.

Vì \(A - B =  - \left( {B - A} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( =  - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.

Ta có \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} \)\( = {2^3} + {3.2^2}y + 3.2.{y^2} + {y^3} \)\( = {\left( {2 + y} \right)^3} \ne \left( {8 + {y^3}} \right)\) nên A sai.

+Xét  \({\left( {2x - y} \right)^3} \)\( = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3}\)\( = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6xy - {y^3}\)\( \ne 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\) nên C sai.

+ Xét \({\left( {3a + 1} \right)^3} \)\( = {\left( {3a} \right)^3} + 3.{\left( {3a} \right)^2}.1 + 3.3a{.1^2} + 1\)\( = 27{a^3} + 27{a^2} + 9a + 1 \)\( \ne 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\) nên D sai

+ Xét \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\) nên B đúng.

Ta có \({\left( { - b - a} \right)^3}\)\( = {\left[ { - \left( {a + b} \right)} \right]^3}\)\( =  - {\left( {a + b} \right)^3} \)\( =  - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\) \( =  - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3} \)\( =  - {a^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - {b^3}\) nên A đúng.

+ Xét  \({\left( {c - d} \right)^3} \)\( = {c^3} - 3{c^2}d + 3c{d^2} + {d^3} \)\( = {c^3} - {d^3} + 3cd\left( {d - c} \right)\) nên B đúng.

+ Xét \({\left( {y - 1} \right)^3} \)\( = {y^3} - 3{y^2}.1 + 3y{.1^2} - {1^3}\)\( = {y^3} - 1 - 3y\left( {y - 1} \right)\) nên D đúng.

+ Xét \({\left( {y - 2} \right)^3} \)\( = {y^3} - 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} - {2^3}\)\( = {y^3} - 6{y^2} + 12y - 8 \)\( = {y^3} - 8 - 6y\left( {y - 2} \right) \)\( \ne {y^3} - 8 - 6y\left( {y + 2} \right)\)

nên C sai.

Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)

Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)