Trường hợp đồng dạng thứ nhất

 Xét \(\Delta ABD\) và $\Delta \;AEG$, ta có:

\(BD \bot AC\) ($BD$ là đường cao)

\(EG \bot AC\) ($EG$ là đường cao)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}EG\)

Theo định lý Talet, ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \)$\Delta AEG\backsim\Delta ABD$ (c - c -c) (điều phải chứng minh)

Từ câu trước  ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}}\)\( \Rightarrow AE.AD = AB.AG\;\;(1)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

$\Delta AFD$$ \backsim $$\Delta AEC$ (c – c – c)

$ \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AF.AC = AE.AD\;\;(2)$

Từ (1) và (2) ta có:

$AD.AE = AB.AG = AC.AF$ .

 Xét \(\Delta ABD\) và $\Delta \;AEG$, ta có:

\(BD \bot AC\) ($BD$ là đường cao)

\(EG \bot AC\) ($EG$ là đường cao)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}EG\)

Theo định lý Talet, ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \)$\Delta AEG\backsim\Delta ABD$ (c - c -c) (điều phải chứng minh)

 Xét \(\Delta ABD\) và $\Delta \;AEG$, ta có:

\(BD \bot AC\) ($BD$ là đường cao)

\(EG \bot AC\) ($EG$ là đường cao)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}EG\)

Theo định lý Talet, ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \)$\Delta AEG\backsim\Delta ABD$ (c - c -c) (điều phải chứng minh)

Ta thấy \(\dfrac{4}{{12}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{6}{{18}} = \dfrac{1}{3}\) nên A đúng.

\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{{12}} \ne \dfrac{6}{{16}}\) nên B sai.

\(\dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{1}\) nên C đúng.

\(\dfrac{{14}}{7} = \dfrac{{15}}{{7,5}} = \dfrac{{16}}{8} = 2\) nên D đúng.

\(2\) tam giác \(RSK\) và \(PQM\) có: \(\dfrac{{RS}}{{MP}} = \dfrac{{RK}}{{PQ}} = \dfrac{{KS}}{{MQ}}\), khi đó ta có: \(\Delta RSK \backsim \Delta PMQ\).

Vì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta MNP\) nên \(\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{{AC}}{{MP}} = \dfrac{{BC}}{{NP}}\) hay

 \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{{AC}}{6} = \dfrac{3}{{NP}}\)\( \Rightarrow AC = \dfrac{{2.6}}{6} = 2;NP = \dfrac{{6.3}}{2} = 9\)

Vậy \(NP = 9cm,AC = 2cm\) nên A, B đúng.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(\Delta MNP\) cân tại \(M\) nên C đúng, D sai.

Ta có: \(\Delta ABC\backsim\Delta EDC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{ED}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).

Vì \(\Delta DEF\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \({k_1},\)\(\Delta MNP\)\(\backsim\)\(\Delta DEF\) theo tỉ số \({k_2}\) nên ta có: \(\dfrac{{DE}}{{AB}} = {k_1} \Rightarrow AB = \dfrac{{DE}}{{{k_1}}}\)  và\(\dfrac{{MN}}{{DE}} = {k_2} \Rightarrow MN = {k_2}.DE\).

Từ đó ta có: \(\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{{\dfrac{{DE}}{{{k_1}}}}}{{{k_2}.DE}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{k_1}}}}}{{{k_2}}} = \dfrac{1}{{{k_1}{k_2}}}\).

Vì \(\Delta ABC\)\(\backsim\)\(\Delta IKH\) nên \(\dfrac{{AB}}{{IK}} = \dfrac{{BC}}{{KH}} = \dfrac{{AC}}{{IH}}\)  hay \(\dfrac{{IK}}{{AB}} = \dfrac{{KH}}{{BC}} = \dfrac{{IH}}{{AC}}\) nên (I) và (II) đúng, (III) sai.

Do đó chỉ có \(1\) khẳng định sai.

Ta có: \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}\) (vì \(\dfrac{9}{{15}} = \dfrac{{12}}{{20}} = \dfrac{{15}}{{25}}\,\left( { = \dfrac{3}{3}} \right)\)).

Suy ra \(\Delta ABD\backsim\Delta BDC\,\left( {c - c - c} \right)\)

\(\Delta ABD\backsim\Delta BDC\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}.\) Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\) //\(CD\). Vậy \(ABCD\) là hình thang.

Lại có: \(B{D^2} = 225 = A{D^2} + A{B^2}\) nên \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\). Do đó \(ABCD\) là hình thang vuông.

Vậy A, B, C đều đúng, D sai.

Vì \(D,E,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,CA,AB\) nên \(EF;\,ED;\,FD\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{FD}}{{AC}} = \dfrac{{ED}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\Delta EDF \backsim \Delta ABC\left( {c - c - c} \right)\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{2}\) hay (I) đúng.

Tương tự ta có \(A'B';\,B'C';\,C'A'\) là các đường trung bình của tam giác \(DEF\) nên \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta DEF\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) nên (III) sai.

Theo tính chất đường trung bình \(\dfrac{{B'C'}}{{EF}} = \dfrac{1}{2}\) mà \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\) (cmt) suy ra \(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}.\)

Tương tự \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}} = \dfrac{1}{4}.\)

Do đó \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC\,\left( {c - c - c} \right)\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{4}\) hay (II) đúng.

Do đó có \(2\) khẳng định đúng.

Từ câu trước  ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)\( \Rightarrow AE.AD = AB.AG\;\;(1)\) nên A đúng.

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\Delta AFD\backsim\Delta AEC\) (c – c – c)

\( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{FD}}{{EC}}\)\( \Rightarrow AF.AC = AE.AD\;\;(2)\) nên B đúng.

Ngoài ra \(\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{FD}}{{EC}}\) \( \Rightarrow AD.EC = AC.FD\) nên C đúng.

Chỉ có đáp án D sai vì \(\dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AB}}{{BD}}\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEG\), ta có:

\(BD \bot AC\) (BD là đường cao)

\(EG \bot AC\) (EG là đường cao)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}EG\)

Theo định lý Talet, ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \;AEG\backsim\Delta ABD\) (c - c -c) nên (1) đúng.

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta ADF \backsim \Delta ACE\) nên (2) đúng.

Dễ thấy (3) sai vì \(\dfrac{{AE}}{{AB}} \ne \dfrac{{AC}}{{AC}}\).

Vậy có hai cặp tam giác đồng dạng trong các cặp đã nêu.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEG\), ta có:

\(BD \bot AC\) (BD là đường cao)

\(EG \bot AC\) (EG là đường cao)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}EG\)

Theo định lý Talet, ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{EG}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \;AEG\backsim\Delta ABD\) (c - c -c) nên (1) đúng.

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta ADF \backsim \Delta ACE\) nên (2) đúng.

Dễ thấy (3) sai vì \(\dfrac{{AE}}{{AB}} \ne \dfrac{{AC}}{{AC}}\).

Vậy có hai cặp tam giác đồng dạng trong các cặp đã nêu.

Tam giác thứ nhất có các cạnh là \(12 < x < y\)

Tam giác thứ hai có các cạnh là \(x < y < 40,5\) .

Vì hai tam giác đồng dạng nên \(\dfrac{{12}}{x} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{{40,5}}\) ta có: \(xy = 12.40,5\) và \({x^2} = 12y\)

Do đó \({x^2} = 12y = 12 \cdot \dfrac{{12.40,5}}{x}\) nên \({x^3} = 12.12.40,5 = {18^3}\)\( \Leftrightarrow x = 18\).

Suy ra \(y = \dfrac{{12.40,5}}{{18}} = 27\).

Vậy \(x = 18,y = 27\) \( \Rightarrow S = 18 + 27 = 45\).

Ta thấy $\dfrac{4}{{12}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{6}{{18}} = \dfrac{1}{3}$ ; \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{6}{{18}} = \dfrac{1}{3}\)  và \(\dfrac{{14}}{7} = \dfrac{{15}}{{7,5}} = \dfrac{{16}}{8} = 2\); \(\dfrac{{1,5}}{2} \ne \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{1}\) nên C sai.

2 tam giác RSK và PQM có \(\dfrac{{RS}}{{PQ}} = \dfrac{{RK}}{{PM}} = \dfrac{{SK}}{{QM}}\), khi đó ta có:\(\Delta RSK\;\; \backsim \;\;\Delta PQM\)

Vì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta MNP\) nên \(\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{{AC}}{{MP}} = \dfrac{{BC}}{{NP}}\)  hay

 \(\begin{array}{l}\dfrac{5}{{10}} = \dfrac{{AC}}{5} = \dfrac{6}{{NP}}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{5.5}}{{10}} = 2,5;\,NP = \dfrac{{6.10}}{5} = 12\end{array}\)

Vậy \(NP = 12cm,AC = 2,5cm\).

Ta có: \(\Delta ABC\backsim\Delta EDC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{ED}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)