Xác định vị trí điểm $E$ trên $OD$ để hình thang $ODFA$ là hình bình hành.
Để hình thang \(ODFA\) là hình bình hành thì ta cần \(OD = AF\) mà \(OE = \dfrac{1}{2}AF\) (cmt) nên \(OE = \dfrac{1}{2}OD\)
Hay \(E\) là trung điểm của \(OD\) .
Tứ giác \(ODFA\) là hình gì?
+ Xét tam giác \(CAF\) có \(E\) là trung điểm của \(CF\) ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); \(O\) là trung điểm \(AC\) (do \(O\) là tâm đối xứng của hình bình hành\(ABCD\) ) nên \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF\) suy ra \(OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA\) là hình thang.
Tứ giác \(ODFA\) là hình gì?
+ Xét tam giác \(CAF\) có \(E\) là trung điểm của \(CF\) ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); \(O\) là trung điểm \(AC\) (do \(O\) là tâm đối xứng của hình bình hành\(ABCD\) ) nên \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF\) suy ra \(OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA\) là hình thang.
Tứ giác \(ODFA\) là hình gì?
+ Xét tam giác \(CAF\) có \(E\) là trung điểm của \(CF\) ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); \(O\) là trung điểm \(AC\) (do \(O\) là tâm đối xứng của hình bình hành\(ABCD\) ) nên \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF\) suy ra \(OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA\) là hình thang.
Tứ giác \(BPNC\) là hình gì?
Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên \(G\) là trung điểm của \(CP;\,BN\) .
Xét tứ giác \(BPNC\) có hai đường chéo \(CP\) và \(BN\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên \(BPNC\) là hình bình hành (dhnb).
Lấy $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $G.$ Chọn khẳng định đúng.
Tương tự câu a) ta có tứ giác \(MNAB\) là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm \(G\) mỗi đường) suy ra \(MN = AB\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành).
Và tứ giác \(PMCA\) là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm \(G\) mỗi đường) suy ra \(PM = AC\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất hình bình hành).
Lại có \(PN = BC\) \(\left( 3 \right)\) (do \(BPNC\) là hình bình hành (cmt))
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\Delta ABC = \Delta MNP\,\left( {c - c - c} \right)\) mà tam giác \(ABC\) không là tam giác đều (gt) nên \(\Delta MNP\) không là tam giác đều.
Tứ giác \(BPNC\) là hình gì?
Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên \(G\) là trung điểm của \(CP;\,BN\) .
Xét tứ giác \(BPNC\) có hai đường chéo \(CP\) và \(BN\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên \(BPNC\) là hình bình hành (dhnb).
Tứ giác \(BPNC\) là hình gì?
Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên \(G\) là trung điểm của \(CP;\,BN\) .
Xét tứ giác \(BPNC\) có hai đường chéo \(CP\) và \(BN\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên \(BPNC\) là hình bình hành (dhnb).
Điền từ thích hợp vào chỗ trống: Hai điểm \(M,N\) gọi là đối xứng nhau qua điểm \(I\) nếu …
+ Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm \(M\), \(N\) gọi là đối xứng với nhau qua điểm \(I\) nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) nên A đúng.
Hình bình hành \(ABCD\) có tâm đối xứng là:
+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên C đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AM,AC.\) Chọn câu đúng.
Vì \(E\) là trung điểm của \(AM\) nên \(A,M\) đối xứng nhau qua \(E\).
Xét tam giác \(ABM\) có \(DE\) là đường trung bình nên \(DE = \dfrac{1}{2}BM\) (1)
Xét tam giác \(ACM\) có \(EF\) là đường trung bình nên \(EF = \dfrac{1}{2}MC\) (2)
Mà \(MB = MC\) nên từ (1) và (2) ta suy ra \(DE = EF\) hay \(E\) là trung điểm đoạn \(DF\).
Do đó \(D;F\) đối xứng nhau qua \(E.\)
Tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\). Biết chu vi của tam giác \(A'B'C'\)là \(40\,cm\). Chu vi của tam giác \(ABC\) là:
Vì tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\) nên \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)\( \Rightarrow AB = A'B';\,AC = A'C';\,BC = B'C'\).
Nên \(AB + AC + BC = A'B' + A'C' + B'C'\)\( \Rightarrow {P_{ABC}} = {P_{A'B'C'}}\).
Do đó chu vi tam giác \(ABC\) là \({P_{ABC}} = 40\,cm\).
Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(AB = 8cm,\,BC = 11cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm của cạnh \(AC\). Chu vi của tứ giác tạo thành là:
Lấy \(M\) là trung điểm \(AC\) khi đó \(A,\,C\) đối xứng nhau qua \(M.\) Vẽ \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(O.\) Khi đó tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác \(ABC\) qua \(M\). Tứ giác tạo thành là \(ABCB'\).
Vì tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác \(ABC\) qua \(M\) nên \(AB' = BC = 11\,cm;\,B'C = BA = 8cm\)
Chu vi tứ giác \(ABCB'\) là \(AB + AC + CB' + AB' = 8 + 11 + 11 + 8 = 38\,cm\).
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH\), trong đó \(BC = 30\,cm,AH = 18\,cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm của cạnh \(BC\). Diện tích của tam giác tạo thành là:
Gọi tam giác \(A'BC\) đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm cạnh \(BC\). Khi đó \(\Delta ABC = \Delta A'BC\)
Nên \({S_{ABC}} = {S_{A'BC}}\).
Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.18.30 = 270\,c{m^2}\) nên \({S_{A'BC}} = 270\,c{m^2}\).
Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
Vì \(E,F,F,H\) theo thứ tự là điểm đối xứng với \(O\) qua \(M,N,P,Q\) nên \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(OE;OF;OH;OG.\)
Xét tam giác \(OEF\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN//EF;\,\,EF = 2MN\) (*)
Xét tam giác \(OHG\) có \(QP\) là đường trung bình nên \(QP//HG;\,HG = 2QP\) (**)
Mà \(MN = QP\) (theo câu trước) nên từ (*) và (**) suy ra \(EF//HG;\,EF = HG\).
Tứ giác \(EFGH\) có \(EF//HG;\,EF = HG\) nên \(EFGH\) là hình bình hành (dhnb).
Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?
+ Nối \(AC\). Xét tam giác \(DAC\) có \(QP\) là đường trung bình nên \(QP//AC;QP = \dfrac{1}{2}AC\) (1)
Xét tam giác \(BAC\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN//AC;MN = \dfrac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN = PQ\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right);\,MN//PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?
+ Nối \(AC\). Xét tam giác \(DAC\) có \(QP\) là đường trung bình nên \(QP//AC;QP = \dfrac{1}{2}AC\) (1)
Xét tam giác \(BAC\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN//AC;MN = \dfrac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN = PQ\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right);\,MN//PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A,E\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(A.\) Lấy các điểm \(I;K\) theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng \(DE,BC\) sao cho \(DI = BK.\) Chọn câu đúng.
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:
+ \(AD = AD\) (vì \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(A\) )
+ \(\widehat {EAD} = \widehat {BAC}\) (đối đỉnh)
+ \(AE = AC\) (vì \(E\) đối xứng với \(C\) qua \(A\))
Nên \(\Delta ADE = \Delta ABC\left( {c - g - c} \right)\), suy ra \(\widehat {EDA} = \widehat {ABC}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(ED//BC\).
Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta ABK\) có:
+ \(AD = AB\) (vì \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(A\) )
+ \(\widehat {EDA} = \widehat {ABC}\) (cmt)
+ \(DI = BK\left( {gt} \right)\)
Nên \(\Delta ADI = \Delta ABK\,\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {IAD} = \widehat {KAB}\) mà \(B,A,D\) thẳng hàng nên \(K,A,I\) thẳng hàng.
Lại có \(IA = AK\) (do \(\Delta ADI = \Delta ABK\)) nên điểm \(K\) đối xứng với \(I\) qua \(A.\)
Hãy chọn câu sai:
+ Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm $A$ , $B$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó nên B đúng.
+ Trung điểm của đoạn thẳng là tâm đối xứng duy nhất của đoạn thẳng đó nên D sai.
+ Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao hai đường chéo, nên C đúng.
+ Điểm đối xứng của một điểm $M$ qua $M$ chính là $M$ nên A đúng.
Hãy chọn câu sai:
+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên A đúng.
+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng là tâm của đường tròn nên B đúng.
+ Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm đối xứng của hình vuông đó nên D đúng.
+ Hình thang không có tâm đối xứng nên C sai.
