Đối xứng tâm

Để hình thang $ODFA$ là hình bình hành thì ta cần $OD = AF$ mà $OE = \dfrac{1}{2}AF$ (cmt) nên $OE = \dfrac{1}{2}OD$

Hay $E$ là trung điểm của $OD$ .

+ Xét tam giác $CAF$ có $E$ là trung điểm của $CF$ ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); $O$ là trung điểm $AC$ (do $O$ là tâm đối xứng của hình bình hành$ABCD$ ) nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF$  suy ra $OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA$ là hình thang.

+ Xét tam giác $CAF$ có $E$ là trung điểm của $CF$ ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); $O$ là trung điểm $AC$ (do $O$ là tâm đối xứng của hình bình hành$ABCD$ ) nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF$  suy ra $OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA$ là hình thang.

+ Xét tam giác $CAF$ có $E$ là trung điểm của $CF$ ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); $O$ là trung điểm $AC$ (do $O$ là tâm đối xứng của hình bình hành$ABCD$ ) nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF$  suy ra $OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA$ là hình thang.

Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên $G$ là trung điểm của $CP;\,BN$ .

Xét tứ giác $BPNC$ có hai đường chéo $CP$ và $BN$  giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $BPNC$ là hình bình hành (dhnb).

Tương tự câu a) ta có  tứ giác $MNAB$ là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm $G$ mỗi đường) suy ra $MN = AB$  $\left( 1 \right)$ (tính chất hình bình hành).

Và tứ giác $PMCA$ là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm $G$ mỗi đường) suy ra $PM = AC$ $\left( 2 \right)$  (tính chất hình bình hành).

Lại có $PN = BC$ $\left( 3 \right)$ (do $BPNC$ là hình bình hành (cmt))

Từ $\left( 1 \right);\,\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)$ suy ra $\Delta ABC = \Delta MNP\,\left( {c - c - c} \right)$ mà tam giác $ABC$ không là tam giác đều (gt) nên $\Delta MNP$ không là tam giác đều.

Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên $G$ là trung điểm của $CP;\,BN$ .

Xét tứ giác $BPNC$ có hai đường chéo $CP$ và $BN$  giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $BPNC$ là hình bình hành (dhnb).

Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên $G$ là trung điểm của $CP;\,BN$ .

Xét tứ giác $BPNC$ có hai đường chéo $CP$ và $BN$  giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $BPNC$ là hình bình hành (dhnb).

+ Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm  $M$, $N$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $I$ nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ nên A đúng.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên C đúng.

Vì $E$ là trung điểm của $AM$ nên $A,M$ đối xứng nhau qua $E$.

Xét tam giác $ABM$ có $DE$ là đường trung bình nên $DE = \dfrac{1}{2}BM$ (1)

Xét tam giác $ACM$ có $EF$ là đường trung bình nên $EF = \dfrac{1}{2}MC$ (2)

Mà $MB = MC$ nên từ (1) và (2) ta suy ra $DE = EF$ hay $E$ là trung điểm đoạn $DF$.

Do đó $D;F$ đối xứng nhau qua $E.$

Vì tam giác $ABC$ đối xứng với tam giác $A'B'C'$ qua $O$ nên $\Delta ABC = \Delta A'B'C'$$\Rightarrow AB = A'B';\,AC = A'C';\,BC = B'C'$.

Nên $AB + AC + BC = A'B' + A'C' + B'C'$$\Rightarrow {P_{ABC}} = {P_{A'B'C'}}$.

Do đó chu vi tam giác $ABC$ là ${P_{ABC}} = 40\,cm$.

Lấy $M$ là trung điểm $AC$ khi đó $A,\,C$ đối xứng nhau qua $M.$ Vẽ $B'$ đối xứng với $B$ qua $O.$ Khi đó tam giác $B'AC$ đối xứng với tam giác $ABC$ qua $M$. Tứ giác tạo thành là $ABCB'$.

Vì tam giác $B'AC$ đối xứng với tam giác $ABC$ qua $M$ nên $AB' = BC = 11\,cm;\,B'C = BA = 8cm$

Chu vi tứ giác $ABCB'$ là $AB + AC + CB' + AB' = 8 + 11 + 11 + 8 = 38\,cm$.

Gọi tam giác $A'BC$ đối xứng với tam giác $ABC$ qua trung điểm cạnh $BC$. Khi đó $\Delta ABC = \Delta A'BC$

Nên ${S_{ABC}} = {S_{A'BC}}$.

Ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.18.30 = 270\,c{m^2}$ nên ${S_{A'BC}} = 270\,c{m^2}$.

Vì $E,F,F,H$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $O$ qua $M,N,P,Q$ nên $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $OE;OF;OH;OG.$

Xét tam giác $OEF$ có $MN$ là đường trung bình nên $MN//EF;\,\,EF = 2MN$  (*)

Xét tam giác $OHG$ có $QP$ là đường trung bình nên $QP//HG;\,HG = 2QP$  (**)

Mà $MN = QP$ (theo câu trước) nên từ (*) và (**) suy ra  $EF//HG;\,EF = HG$.

Tứ giác $EFGH$ có $EF//HG;\,EF = HG$ nên $EFGH$ là hình bình hành (dhnb).

+ Nối $AC$. Xét tam giác $DAC$ có $QP$ là đường trung bình nên $QP//AC;QP = \dfrac{1}{2}AC$  (1)

Xét tam giác $BAC$ có $MN$ là đường trung bình nên $MN//AC;MN = \dfrac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN = PQ\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right);\,MN//PQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

+ Nối $AC$. Xét tam giác $DAC$ có $QP$ là đường trung bình nên $QP//AC;QP = \dfrac{1}{2}AC$  (1)

Xét tam giác $BAC$ có $MN$ là đường trung bình nên $MN//AC;MN = \dfrac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN = PQ\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right);\,MN//PQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:

+  $AD = AD$ (vì $D$ đối xứng với $B$ qua $A$ )

+ $\widehat {EAD} = \widehat {BAC}$ (đối đỉnh)

+ $AE = AC$ (vì $E$ đối xứng với $C$ qua $A$)

Nên $\Delta ADE = \Delta ABC\left( {c - g - c} \right)$, suy ra $\widehat {EDA} = \widehat {ABC}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC$.

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta ABK$ có:

+ $AD = AB$ (vì $D$ đối xứng với $B$ qua $A$ )

+ $\widehat {EDA} = \widehat {ABC}$ (cmt)

+ $DI = BK\left( {gt} \right)$

Nên $\Delta ADI = \Delta ABK\,\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {IAD} = \widehat {KAB}$ mà $B,A,D$ thẳng hàng nên $K,A,I$ thẳng hàng.

Lại có $IA = AK$ (do $\Delta ADI = \Delta ABK$) nên điểm $K$ đối xứng với $I$ qua $A.$

+ Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm  $A$ , $B$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó nên B đúng.

+ Trung điểm của đoạn thẳng là tâm đối xứng duy nhất của đoạn thẳng đó nên D sai.

+ Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao hai đường chéo, nên C  đúng.

+ Điểm đối xứng của một điểm $M$ qua $M$ chính là $M$ nên A đúng.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên A đúng.

+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng là tâm của đường tròn nên B đúng.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm đối xứng của hình vuông đó nên D đúng.

+ Hình thang không có tâm đối xứng nên C sai.