Cho hình bình hành \(ABEF\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Trong các khẳng định sau:
1. \(E\) và \(A\) đối xứng nhau qua \(O\).
2. \(B\) và \(F\) đối xứng nhau qua \(O\).
3. \(E\) và \(F\) đối xứng nhau qua \(O\).
4. \(AB\) và $EF$ đối xứng nhau qua \(O\).
Có bao nhiêu khẳng định đúng ?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528856619488_14.png)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(OA = OE;\,OB = OF\) nên
+ \(E\) và \(A\) đối xứng nhau qua \(O\).
+ \(B\) và \(F\) đối xứng nhau qua \(O\).
+ \(AB\) và $EF$ đối xứng nhau qua \(O\).
Nhưng \(E\) và \(F\) không đối xứng nhau qua \(O\) vì \(OE \ne OF;\,O\) không thuộc \(EF\) .
Vậy có \(3\) khẳng định đúng.
Tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\). Biết chu vi của tam giác \(A'B'C'\)là \(32\,cm\). Chu vi của tam giác \(ABC\) là :
Vì tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\) nên \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) \( \Rightarrow AB = A'B';\,AC = A'C';\,BC = B'C'\)
Nên \(AB + AC + BC = A'B' + A'C' + B'C'\) \( \Rightarrow {P_{ABC}} = {P_{A'B'C'}}\)
Do đó chu vi tam giác \(ABC\) là \({P_{ABC}} = 32\,cm\) .
Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(AB = 15cm,\,BC = 12cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm của cạnh \(AC\). Chu vi của tứ giác tạo thành là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528857503638_15.png)
Lấy \(M\) là trung điểm \(AC\) khi đó \(A,\,C\) đối xứng nhau qua \(M\) . Vẽ \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(O\) . Khi đó tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác $ABC$ qua \(M\) . Tứ giác tạo thành là \(ABCB'\) .
Vì tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác $BCA$ qua \(M\) nên \(AB' = BC = 15\,cm;\,B'C= AB = 12\,cm\)
Chu vi tứ giác \(ABCB'\) là $AB + AC + CB' + AB' $$= 12 + 15 + 12 + 15 = 54\,cm$ .
Hãy chọn câu đúng. Cho hình bình hành \(ABCD\). Lấy điểm \(E\) thuộc tia đối của tia \(AD\) sao cho \(AD = AE\), lấy \(F\) thuộc tia đối của tia \(CD\) sao cho \(CD = CF\). Hình bình hành \(ABCD\) có thêm điều kiện gì để \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(DB\) ?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528857652990_16.png)
Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\) khi đó \(OA = OC;\,OB = OD\)
Xét tam giác \(DBE\) ta có \(OA\) là đường trung bình nên \(OA{\rm{//}}EB;\,OA = \dfrac{1}{2}EB \Rightarrow AC{\rm{//}}EB;\,OA = \dfrac{1}{2}EB\) \(\left( 1 \right)\)
Tương tự \(OC\) là đường trung bình của tam giác $BDF $ \(\Rightarrow OC{\rm{//}}BF;\,OC = \dfrac{1}{2}FB \Rightarrow AC{\rm{//}}BF;\,OC = \dfrac{1}{2}FB\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow E;\,B;F\) thẳng hàng và \(EB = BF\) (vì \(OA = OC\) ) hay \(E\) đối xứng với \(F\) qua điểm \(B\) .
Để \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(BD\) ta cần thêm điều kiện \(EF \bot BD\).
Mà \(AC\) là đường trung bình của tam giác \(DEF\) nên \(AC{\rm{//}}\,EF\) suy ra \(BD \bot AC\) .
Vậy hình bình hành $ABCD$ có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(DB\).
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH\), trong đó \(BC = 18\,cm,AH = 3\,cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\)qua trung điểm của cạnh \(BC\). Diện tích của tam giác tạo thành là:.
Gọi tam giác \(A'CB\) đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm cạnh \(BC\) . Khi đó \(\Delta ABC = \Delta A'CB\)
Nên \({S_{ABC}} = {S_{A'BC}}\) .
Ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC \)\(= \dfrac{1}{2}.3.18 = 27\,c{m^2}\) nên ${S_{A'BC}} = 27\,c{m^2}$ .
Cho tam giác $ABC$ , trọng tâm $G$ . Gọi $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm $G$ .
Tứ giác \(BPNC\) là hình gì?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528858857606_20.png)
Vì $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm$G$ nên \(G\) là trung điểm của \(CP;\,BN\) .
Xét tứ giác \(BPNC\) có hai đường chéo \(CP\) và \(BN\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên \(BPNC\) là hình bình hành (dhnb).
Cho tam giác $ABC$ , trọng tâm $G$ . Gọi $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $B,C$ qua trọng tâm $G$ .
Lấy $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $G.$ Chọn khẳng định đúng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528859001883_21.png)
Tương tự câu a) ta có tứ giác \(MNAB\) là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm \(G\) mỗi đường) suy ra \(MN = AB\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành).
Và tứ giác \(PMCA\) là hình bình hành (do hai đường chéo giao nhau tại trung điểm \(G\) mỗi đường) suy ra \(PM = AC\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất hình bình hành).
Lại có \(PN = BC\) \(\left( 3 \right)\) (do \(BPNC\) là hình bình hành (cmt))
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\Delta ABC = \Delta MNP\,\left( {c - c - c} \right)\) mà tam giác \(ABC\) không là tam giác đều (gt) nên \(\Delta MNP\) không là tam giác đều.
Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm đối xứng là $O$ , $E$ là điểm bất kỳ trên đoạn $OD.$ Gọi $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua $E$ .
Tứ giác \(ODFA\) là hình gì?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528858105205_17.png)
+ Xét tam giác \(CAF\) có \(E\) là trung điểm của \(CF\) ( do $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua$E$); \(O\) là trung điểm \(AC\) (do \(O\) là tâm đối xứng của hình bình hành\(ABCD\) ) nên \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(CAF \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AF;\,OE{\rm{//}}AF\) suy ra \(OD\,{\rm{//}}\,AF \Rightarrow ODFA\) là hình thang.
Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm đối xứng là $O$ , $E$ là điểm bất kỳ trên đoạn $OD.$ Gọi $F$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua $E$ .
Xác định vị trí điểm $E$ trên $OD$ để hình thang $ODFA$ là hình bình hành.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528858439539_18.png)
Để hình thang \(ODFA\) là hình bình hành thì ta cần \(OD = AF\) mà \(OE = \dfrac{1}{2}AF\) (cmt) nên \(OE = \dfrac{1}{2}OD\)
Hay \(E\) là trung điểm của \(OD\) .
Cho hình bình hành $ABCD$ , $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua $O$ cắt các cạnh $AB$ và $CD$ theo thứ tự ở $M$ và $N$ . Chọn khẳng định đúng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528858591502_19.png)
Xét tam giác \(\Delta OMB\) và \(\Delta OND\) có
+ \(\widehat {MOB} = \widehat {NOD}\) (đối đỉnh)
+ \(OB = OD\) (tính chất hình bình hành)
+ \(\widehat {MBO} = \widehat {NDO}\) (so le trong)
Nên \(\Delta OMB = \Delta OND\,\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OM = ON\) (hai cạnh tương ứng)
Suy ra điểm $M$ đối xứng với điểm $N$ qua $O$.