Cho hình vẽ biết \(DE//BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Áp dụng hệ quả định lý Ta lét, ta có:
\(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
+ Vì \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) nên \(AD.AC = AB.AE\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.
+ Ta có: \( \dfrac{{DE}}{{BC}}=\dfrac{{AD}}{{AB}} \ne \dfrac{{AD}}{{DB}}\) (hệ quả định lý Ta-lét)
\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.
+ Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\)
\( \Rightarrow AD.BC = AB.DE\)
\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Chỉ ra câu sai?
Giả sử ta có: \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)
\( \Rightarrow \widehat A = \widehat {A'},\;\widehat B = \widehat {B'}\) (các cặp góc tương ứng bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A, B đúng.
+ Giả sử xét 2 tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có: \(\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}}\)
Điều kiện trên chưa đủ để chứng minh \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\).
\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.
+ Vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.
Chỉ ra 1 tỉ số sai nếu ta áp dụng định lý Talet, biết $ABCD$ là hình bình hành:
Có \(CD//AB\) (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: \(CK//AB;\) \(KD//AB;\)\(CL//AD\)
Vì \(CK//AB\) nên áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{LC}}{{LB}} = \dfrac{{LK}}{{LA}}\)
Vì \(KD//AB\) nên áp dụng định lý Talet ta có:
Có $BC//AD$ (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: \(CL//AD\)
Vì \(CL//AD\) nên áp dụng định lý Talet ta có:\(\dfrac{{KA}}{{KL}} = \dfrac{{KD}}{{KC}}\)
Vậy \(\dfrac{{IB}}{{IK}} = \dfrac{{IA}}{{ID}}\) sai.
Cho 2 tam giác $MNP$ và $QRS$ đồng dạng với nhau theo tỉ số $k.$ Tỷ số diện tích của 2 tam giác $MNP$ và $QRS$ là:
Giả sử \(\Delta MNP \backsim \Delta QRS\) theo tỉ số k thì tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta QRS}}}} = {k^2}\)
Cho \(\Delta MNP \backsim \Delta HGK\) có tỉ số chu vi: \(\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}\) khi đó:
Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác $MNP$ và $HGK.$
Theo bài ta có:
\(\Delta MNP \backsim \Delta HGK\) và \(\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{HG}} = \dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{{MP}}{{HK}} = \dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7} = k\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{2}{7}} \right)^2} = \dfrac{4}{{49}}.\)
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta XYZ\) đồng dạng. Đỉnh A tương ứng với đỉnh X, đỉnh B tương ứng với đỉnh Y. Biết $AB = 3,{\rm{ }}BC = 4$ và $XY = 5.$ Tính $YZ$ ?
Theo bài ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta XYZ\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{XY}} = \dfrac{{BC}}{{YZ}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{{YZ}} \Rightarrow YZ = \dfrac{{5.4}}{3} = \dfrac{{20}}{3} = 6\dfrac{2}{3}\)
Cho \(\Delta ABC\) có $AB = 4{\rm{ }}cm,{\rm{ }}BC = 6{\rm{ }}cm,{\rm{ }}AC = 5{\rm{ }}cm.$ \(\Delta MNP\) có
$MN = 3{\rm{ }}cm,{\rm{ }}NP = 2,5{\rm{ }}cm,{\rm{ }}PM = 2{\rm{ }}cm$ thì tỉ lệ \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\) bằng bao nhiêu?
Ta có:
\(\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PN}}{{CA}} = \dfrac{{2,5}}{5} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PM}}{{AB}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{PN}}{{CA}} = \dfrac{{PM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\Delta PMN \backsim \Delta ABC\;(c - c - c)\)
Suy ra tỉ số đồng dạng k của hai tam giác là \(k = \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta PMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)
Cho biết \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{7}\) và đoạn thẳng $AB$ ngắn hơn đoạn thẳng $CD$ là $10{\rm{ }}cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng$AB,{\rm{ }}CD$ ?
Theo bài ra, ta có: \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{7}\)
\( \Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD\)
Mà đoạn thẳng $AB$ ngắn hơn đoạn thẳng $CD$ là $10{\rm{ }}cm,$ suy ra: \(CD - AB = 10.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow CD - \dfrac{5}{7}CD = 10 \Leftrightarrow \dfrac{2}{7}CD = 10 \Leftrightarrow CD = \dfrac{{10.7}}{2} = 35\;cm\\ \Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD = \dfrac{5}{7}.35 = 25\;cm\end{array}\)
Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 10{\rm{ }}cm,{\rm{ }}BC = 15{\rm{ }}cm,{\rm{ }}AD = 6{\rm{ }}cm.$ Tính $AC = $ ?
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có: \(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{6.15}}{{10}} = 9\;cm\)
\( \Rightarrow AC = AD + DC = 6 + 9 = 15\;cm\)
Tìm \(y\) trong hình vẽ dưới đây.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IAD ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\;\;\\ \Leftrightarrow {4^2} + {3^2} = I{D^2}\\ \Leftrightarrow I{D^2} = 25\\ \Rightarrow ID = 5\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông IAD và CBI có: \(\widehat {IDA} = \widehat {CIB}\;(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta IAD \backsim \Delta CBI\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{CB}} = \dfrac{{ID}}{{CI}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{5}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{15.5}}{4} = 18,75\)
Vậy \(y = 18,75\).
Cho biết $ABCD$ là hình chữ nhật. Tìm \(x.\)
Xét tam giác $BCI$ và tam giác $DEI$ có:
\(\widehat {CBI} = \widehat {EDI}\) (cặp góc so le trong)
\(\widehat {EID} = \widehat {CIB}\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BCI \backsim \Delta DEI\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{EI}} = \dfrac{{BC}}{{DE}} \Leftrightarrow \dfrac{9}{x} = \dfrac{{10}}{8} \Leftrightarrow x = \dfrac{{9.8}}{{10}} = 7,2\)
Vậy \(x = 7,2\).
Cho đoạn $AC$ vuông góc với $CE.$ Nối $A$ với trung điểm $D$ của $CE$ và $E$ với trung điểm $B$ của $AC,{\rm{ }}AD$ và $EB$ cắt nhau tại $F.$ Cho $BC = CD = 15{\rm{ }}cm.$ Tính diện tích tam giác $DEF$ theo đơn vị $c{m^2}$ ?
Xét \(\Delta EAC\) có $AD,{\rm{ }}EB$ là 2 đường trung tuyến.
Suy ra $F$ là giao của 2 đường trung tuyến $AD,{\rm{ }}EB$ nên $F$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}.\)
Kẻ $FH$ vuông góc với $CE$ ($H$ thuộc $CE$ ).
Xét 2 tam giác vuông $EFH$ và $EBC$ ta có: \(\widehat {BEC}\) chung
\( \Rightarrow \Delta EFH \backsim \Delta EBC\) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{FH}}{{BC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{FH}}{{15}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow FH = \dfrac{{2.15}}{3} = 10\;cm\)
Vì D là trung điểm của CE nên CD = DE = 15 cm.
Vậy diện tích của tam giác DEF là:
\({S_{\Delta DEF}} = \dfrac{1}{2}.FH.DE = \dfrac{1}{2}.10.15 = 75\;c{m^2}\)
Cho tam giác $ABC$ có ${\rm{ }}BC = 8{\rm{ }}cm;{\rm{ }}BH$ và $CK$ ( $H \in AC;\, K \in AB$) là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$. Tính độ dài đoạn $HK$.
Ta lại có $BH$ và $CK$ là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC,$ suy ra $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB.$
nên HK là đường trung bình của tam giác ABC nên $HK= \dfrac{1}{2} BC=\dfrac{8}{2} = 4\;cm$
Một người đo chiều cao của cây nhờ 1 cọc chôn xuống đất, cọc cao 2,45 m và đặt xa cây 1,36 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,64 m thì người ấy nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu? Biết khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,65 m.
Ta mô tả vị trí cây, cọc và người như hình vẽ bên.
Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta BNM\) ta có:
\(\widehat B\;chung\)
\(\widehat {BEF} = \widehat {BMN}\) (vì \(EF//MN\), cặp góc đồng vị bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BNM\;(g - g)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + 0,64}} = \dfrac{{1,65}}{{2,45}}\\ \Leftrightarrow 1,65\left( {BF + 0,64} \right) = 2,45.BF\\ \Leftrightarrow BF = 1,32\;\;m.\end{array}\)
Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta BCA\) có:
\(\widehat B\;chung\)
\(\widehat {BEF} = \widehat {BAC}\) (vì $EF\parallel AC$, cặp góc đồng vị bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BCA\;(g - g)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN + NC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{1,32}}{{1,32 + 0,64 + 1,36}} = \dfrac{{1,65}}{{CA}}\\ \Rightarrow CA = 4,15\;m\end{array}\)
Vậy cây cao đúng bằng độ dài của đoạn CA hay cây cao 4,15 m.
Tỉ số các cạnh bé nhất của 2 tam giác đồng dạng bằng \(\dfrac{2}{5}\). Tính chu vi p, \(p'\) của 2 tam giác đó, biết \(p' - p = 18\)?
Giả sử 2 tam giác đồng dạng là ABC và DEF, 2 cạnh bé nhất của 2 tam giác lần lượt là AB và DE.
Khi đó ta có: \(\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{2}{5}\)
Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\) nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{{BC}}{{EF}} = \dfrac{{CA}}{{FD}} = \dfrac{{AB + BC + CA}}{{DE + EF + FD}} = \dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{p}{{p'}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow p = \dfrac{2}{5}p'.\end{array}\)
Ta lại có: \(p' - p = 18\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow p' - \dfrac{2}{5}p' = 18 \Leftrightarrow p' = 30\\ \Rightarrow p = \dfrac{2}{5}p' = 12\end{array}\)
Cho \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\). Biết \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{49}}{S_{\Delta ABC}}\) và hiệu 2 chu vi của 2 tam giác là 16 m. Tính chu vi mỗi tam giác?
Theo bài ta có: \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{49}}{S_{\Delta ABC}}\) và .
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{49}}\)
Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác \(\Delta A'B'C'\) và \(\Delta ABC\).
Khi đó ta có:
\(\dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = \dfrac{{25}}{{49}} = {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^2}\)\( \Rightarrow k = \dfrac{5}{7}\)
Vì \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) nên \(\dfrac{{{C_{\Delta A'B'C'}}}}{{{C_{\Delta ABC}}}} = k = \dfrac{5}{7}\).
\( \Rightarrow {C_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}}\).
Ta lại có hiệu 2 chu vi của 2 tam giác là 16 m , suy ra: \({C_{\Delta ABC}} - {C_{\Delta A'B'C'}} = 16\)
\( \Rightarrow {C_{\Delta ABC}} - \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{2}{7}{C_{\Delta ABC}} = 16 \Leftrightarrow {C_{\Delta ABC}} = \dfrac{{16.7}}{2} = 56\;m\)
\( \Rightarrow {C_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}} = \dfrac{5}{7}.56 = 40\;m\)
Vậy\({C_{\Delta A'B'C'}} = 40\;m,\;{C_{\Delta ABC}} = 56\;m\).
Cho \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) có chu vi lần lượt là 50 cm và 60 cm. Diện tích của \(\Delta ABC\) lớn hơn diện tích của \(\Delta A'B'C'\) là 33 $cm^2$. Tính diện tích tam giác \(ABC.\)
Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác đã cho.
Theo đề bài ta có: \(k = \dfrac{{{p_{\Delta A'B'C'}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{50}}{{60}} = \dfrac{5}{6}.\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = \dfrac{{25}}{{36}} \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{36}}{S_{\Delta ABC}}\)
Ta lại có: \({S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta A'B'C'}} = 33\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {S_{ABC}} - \dfrac{{25}}{{36}}{S_{ABC}} = 33\\ \Leftrightarrow {S_{\Delta ABC}} = 108\;c{m^2}.\end{array}\)
Cho hình bình hành $ABCD,$ điểm $F$ nằm trên cạnh $BC.$ Tia $AF$ cắt $BD$ và $DC$ lần lượt ở $E$ và $G.$ Chọn câu đúng nhất.
+) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên \(AD//BC\)
\( \Rightarrow AD//BF\) (tính chất hbh).
Xét \(\Delta BEF\) và \(\Delta DEA\) có:
\(\widehat {BEF} = \widehat {DEA}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\widehat {FBE} = \widehat {ADE}\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta BEF \backsim \Delta DEA\;(g - g)\) nên A sai.
+) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên \(AB//DC\)
\( \Rightarrow AB//DG\)
Xét \(\Delta DGE\) và \(\Delta BAE\) ta có:
\(\widehat {DEG} = \widehat {BEA}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\widehat {ABE} = \widehat {GDE}\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta DGE \backsim \Delta BAE\;(g - g)\) nên B sai.
+) Vì \(\Delta BEF \backsim \Delta DEA\) nên \(\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{BE}}{{DE}}\) (1)
Vì \(\Delta DGE \backsim \Delta BAE\) nên \(\dfrac{{AE}}{{GE}} = \dfrac{{BE}}{{DE}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{AE}}{{GE}} \Leftrightarrow A{E^2} = GE.EF\) nên C đúng.
Cho tam giác $MNP$ vuông ở $M$ và có đường cao $MK$ .
+) Xét 2 tam giác vuông $\Delta KNM$ và $\Delta MNP$ có: \(\widehat N\) chung
nên $\Delta KNM$\( \backsim \) $\Delta MNP$ (g.g) (1)
Xét 2 tam giác vuông $\Delta KMP$ và $\Delta MNP$ có: \(\widehat P\) chung
nên $\Delta KMP$\( \backsim \) $\Delta MNP$ (g.g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\Delta KNM$ \( \backsim \) $\Delta KMP$ (theo t/c bắc cầu).
Vậy $\Delta KNM$\( \backsim \) $\Delta MNP$\( \backsim \)$\Delta KMP$ nên A đúng.
+) Theo chứng minh trên: $\Delta KNM$ \( \backsim \) $\Delta KMP.$
\( \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{PK}} = \dfrac{{NK}}{{MK}}\)
\( \Leftrightarrow M{K^2} = NK.PK\) nên B đúng.
Vậy cả A, B đều đúng.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $E$ là trung điểm của $AB.$ Tia $DE$ cắt $AC$ ở $F,$ cắt $CB$ ở $G.$ Chọn câu đúng.
Ta có \(AB//CD\)(vì $ABCD$ là hình chữ nhật)
Áp dụng định lý Talet ta có:
\(\dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{AE}}{{DC}}\)
Vì $E$ là trung điểm của $AB$ nên \(AE = EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{AE}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\;\;\left( 1 \right)\\ \Rightarrow FD = 2EF\;\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông \(\Delta AED\) và \(\Delta BEG\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {GBE} = {90^0}\\AE = EB\;\left( {gt} \right)\end{array}\)
\(\widehat {AED} = \widehat {BEG}\) (2 góc đối đỉnh bằng nhau)
\( \Rightarrow \Delta AED = \Delta BEG\;(g - c - g)\)
\( \Rightarrow ED = EG\) (các cạnh tương ứng)
Ta thấy: \(\dfrac{{FD}}{{FG}} = \dfrac{{2EF}}{{FE + EG}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + ED}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + EF + FD}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + EF + 2EF}} = \dfrac{{2EF}}{{4EF}} = \dfrac{1}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FG}}\)
\( \Leftrightarrow F{D^2} = EF.FG\)
