Bài tập ôn tập chương 7

Áp dụng hệ quả định lý Ta lét, ta có:

$\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

+ Vì $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ nên $AD.AC = AB.AE$

$\Rightarrow$ Đáp án B sai.

+ Ta có: $\dfrac{{DE}}{{BC}}=\dfrac{{AD}}{{AB}} \ne \dfrac{{AD}}{{DB}}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

+ Ta có: $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow AD.BC = AB.DE$

$\Rightarrow$ Đáp án D sai.

Giả sử ta có: $\Delta ABC = \Delta A'B'C'$

$\Rightarrow \widehat A = \widehat {A'},\;\widehat B = \widehat {B'}$ (các cặp góc tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\;(g - g)$

$\Rightarrow$ Đáp án A, B đúng.

+ Giả sử xét 2 tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có: $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}}$

Điều kiện trên chưa đủ để chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$.

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

+ Vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau  $\Rightarrow$ Đáp án D đúng.

Có $CD//AB$ (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: $CK//AB;$ $KD//AB;$$CL//AD$    

Vì $CK//AB$  nên áp dụng định lý Talet ta có: $\dfrac{{LC}}{{LB}} = \dfrac{{LK}}{{LA}}$

Vì $KD//AB$ nên áp dụng định lý Talet ta có:

Có $BC//AD$ (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: $CL//AD$

Vì $CL//AD$ nên áp dụng định lý Talet ta có:$\dfrac{{KA}}{{KL}} = \dfrac{{KD}}{{KC}}$  

Vậy  $\dfrac{{IB}}{{IK}} = \dfrac{{IA}}{{ID}}$ sai.

Giả sử $\Delta MNP \backsim \Delta QRS$ theo tỉ số k thì  tỉ số diện tích  $\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta QRS}}}} = {k^2}$

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác $MNP$ và $HGK.$

Theo bài ta có:

$\Delta MNP \backsim \Delta HGK$  và $\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}$

$\Rightarrow \dfrac{{MN}}{{HG}} = \dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{{MP}}{{HK}} = \dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7} = k$

$\Rightarrow \dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{2}{7}} \right)^2} = \dfrac{4}{{49}}.$

Theo bài ta có: $\Delta ABC \backsim \Delta XYZ$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{XY}} = \dfrac{{BC}}{{YZ}}$$\Leftrightarrow \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{{YZ}} \Rightarrow YZ = \dfrac{{5.4}}{3} = \dfrac{{20}}{3} = 6\dfrac{2}{3}$

Ta có:

$\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PN}}{{CA}} = \dfrac{{2,5}}{5} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PM}}{{AB}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{PN}}{{CA}} = \dfrac{{PM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$

Vậy $\Delta PMN \backsim \Delta ABC\;(c - c - c)$

Suy ra tỉ số đồng dạng k của hai tam giác là $k = \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta PMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$

Theo bài ra, ta có: $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{7}$

$\Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD$

Mà đoạn thẳng $AB$ ngắn hơn đoạn thẳng $CD$ là $10{\rm{ }}cm,$ suy ra: $CD - AB = 10.$ 

$\begin{array}{l} \Rightarrow CD - \dfrac{5}{7}CD = 10 \Leftrightarrow \dfrac{2}{7}CD = 10 \Leftrightarrow CD = \dfrac{{10.7}}{2} = 35\;cm\\ \Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD = \dfrac{5}{7}.35 = 25\;cm\end{array}$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có: $\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}$

$\Rightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{6.15}}{{10}} = 9\;cm$

$\Rightarrow AC = AD + DC = 6 + 9 = 15\;cm$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IAD ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\;\;\\ \Leftrightarrow {4^2} + {3^2} = I{D^2}\\ \Leftrightarrow I{D^2} = 25\\ \Rightarrow ID = 5\end{array}$

 Xét 2 tam giác vuông IAD và CBI có: $\widehat {IDA} = \widehat {CIB}\;(gt)$

$\Rightarrow \Delta IAD \backsim \Delta CBI\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{IA}}{{CB}} = \dfrac{{ID}}{{CI}}$$\Leftrightarrow \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{5}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{15.5}}{4} = 18,75$ 

Vậy $y = 18,75$.

Xét tam giác $BCI$ và tam giác $DEI$ có:

$\widehat {CBI} = \widehat {EDI}$ (cặp góc so le trong)

$\widehat {EID} = \widehat {CIB}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta BCI \backsim \Delta DEI\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{CI}}{{EI}} = \dfrac{{BC}}{{DE}} \Leftrightarrow \dfrac{9}{x} = \dfrac{{10}}{8} \Leftrightarrow x = \dfrac{{9.8}}{{10}} = 7,2$

Vậy $x = 7,2$.

Xét $\Delta EAC$ có $AD,{\rm{ }}EB$ là 2 đường trung tuyến.

Suy ra $F$ là giao của 2 đường trung tuyến $AD,{\rm{ }}EB$ nên $F$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

$\Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}.$

Kẻ $FH$ vuông góc với $CE$ ($H$ thuộc $CE$ ).

Xét 2 tam giác vuông $EFH$ và $EBC$ ta có: $\widehat {BEC}$ chung

$\Rightarrow \Delta EFH \backsim \Delta EBC$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{FH}}{{BC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{FH}}{{15}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow FH = \dfrac{{2.15}}{3} = 10\;cm$

Vì D là trung điểm của CE nên CD = DE = 15 cm.

Vậy diện tích của tam giác DEF là:

${S_{\Delta DEF}} = \dfrac{1}{2}.FH.DE = \dfrac{1}{2}.10.15 = 75\;c{m^2}$

Ta lại có $BH$ và $CK$ là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC,$ suy ra $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB.$

nên HK là đường trung bình của tam giác ABC nên $HK= \dfrac{1}{2} BC=\dfrac{8}{2} = 4\;cm$

Ta mô tả vị trí cây, cọc và người như hình vẽ bên.

Xét $\Delta BFE$ và $\Delta BNM$ ta có:

$\widehat B\;chung$

$\widehat {BEF} = \widehat {BMN}$ (vì $EF//MN$, cặp góc đồng vị bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BNM\;(g - g)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + 0,64}} = \dfrac{{1,65}}{{2,45}}\\ \Leftrightarrow 1,65\left( {BF + 0,64} \right) = 2,45.BF\\ \Leftrightarrow BF = 1,32\;\;m.\end{array}$

Xét $\Delta BFE$ và $\Delta BCA$ có:

$\widehat B\;chung$

$\widehat {BEF} = \widehat {BAC}$ (vì $EF\parallel AC$, cặp góc đồng vị bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BCA\;(g - g)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN + NC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{1,32}}{{1,32 + 0,64 + 1,36}} = \dfrac{{1,65}}{{CA}}\\ \Rightarrow CA = 4,15\;m\end{array}$ 

Vậy cây cao đúng bằng độ dài của đoạn CA hay cây cao 4,15 m.

Giả sử 2 tam giác đồng dạng là ABC và DEF, 2 cạnh bé nhất của 2 tam giác lần lượt là AB và DE.

Khi đó ta có: $\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{2}{5}$

Vì $\Delta ABC \backsim \Delta DEF$ nên:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{{BC}}{{EF}} = \dfrac{{CA}}{{FD}} = \dfrac{{AB + BC + CA}}{{DE + EF + FD}} = \dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{p}{{p'}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow p = \dfrac{2}{5}p'.\end{array}$

Ta lại có: $p' - p = 18$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p' - \dfrac{2}{5}p' = 18 \Leftrightarrow p' = 30\\ \Rightarrow p = \dfrac{2}{5}p' = 12\end{array}$

Theo bài ta có: ${S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{49}}{S_{\Delta ABC}}$ và .

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{49}}$

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác $\Delta A'B'C'$ và $\Delta ABC$.

Khi đó ta có:

$\dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = \dfrac{{25}}{{49}} = {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^2}$$\Rightarrow k = \dfrac{5}{7}$

Vì $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$ nên $\dfrac{{{C_{\Delta A'B'C'}}}}{{{C_{\Delta ABC}}}} = k = \dfrac{5}{7}$.

$\Rightarrow {C_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}}$.

Ta lại có hiệu 2 chu vi của 2 tam giác là 16 m , suy ra: ${C_{\Delta ABC}} - {C_{\Delta A'B'C'}} = 16$

$\Rightarrow {C_{\Delta ABC}} - \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{2}{7}{C_{\Delta ABC}} = 16 \Leftrightarrow {C_{\Delta ABC}} = \dfrac{{16.7}}{2} = 56\;m$

$\Rightarrow {C_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{5}{7}{C_{\Delta ABC}} = \dfrac{5}{7}.56 = 40\;m$

Vậy${C_{\Delta A'B'C'}} = 40\;m,\;{C_{\Delta ABC}} = 56\;m$.

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác đã cho.

Theo đề bài ta có: $k = \dfrac{{{p_{\Delta A'B'C'}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{50}}{{60}} = \dfrac{5}{6}.$

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = \dfrac{{25}}{{36}} \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{36}}{S_{\Delta ABC}}$

Ta lại có: ${S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta A'B'C'}} = 33$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {S_{ABC}} - \dfrac{{25}}{{36}}{S_{ABC}} = 33\\ \Leftrightarrow {S_{\Delta ABC}} = 108\;c{m^2}.\end{array}$

+) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC$

$\Rightarrow AD//BF$  (tính chất hbh).

Xét $\Delta BEF$ và $\Delta DEA$ có:

$\widehat {BEF} = \widehat {DEA}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat {FBE} = \widehat {ADE}$ (cặp góc so le trong bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta BEF \backsim \Delta DEA\;(g - g)$ nên A sai.

+) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//DC$

$\Rightarrow AB//DG$

 Xét $\Delta DGE$ và $\Delta BAE$ ta có:

$\widehat {DEG} = \widehat {BEA}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat {ABE} = \widehat {GDE}$ (cặp góc so le trong bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta DGE \backsim \Delta BAE\;(g - g)$ nên B sai.

+) Vì $\Delta BEF \backsim \Delta DEA$ nên $\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{BE}}{{DE}}$ (1)

 Vì $\Delta DGE \backsim \Delta BAE$ nên $\dfrac{{AE}}{{GE}} = \dfrac{{BE}}{{DE}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{AE}}{{GE}} \Leftrightarrow A{E^2} = GE.EF$ nên C đúng.

+) Xét 2 tam giác vuông $\Delta KNM$ và $\Delta MNP$ có: $\widehat N$ chung

nên  $\Delta KNM$$\backsim$ $\Delta MNP$ (g.g) (1)

Xét 2 tam giác vuông $\Delta KMP$ và $\Delta MNP$ có: $\widehat P$ chung

nên $\Delta KMP$$\backsim$ $\Delta MNP$ (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Delta KNM$ $\backsim$ $\Delta KMP$ (theo t/c bắc cầu).

Vậy $\Delta KNM$$\backsim$ $\Delta MNP$$\backsim$$\Delta KMP$ nên A đúng.

+) Theo chứng minh trên:  $\Delta KNM$ $\backsim$ $\Delta KMP.$

$\Rightarrow \dfrac{{MK}}{{PK}} = \dfrac{{NK}}{{MK}}$

$\Leftrightarrow M{K^2} = NK.PK$ nên B đúng.

Vậy cả A, B đều đúng.

Ta có $AB//CD$(vì $ABCD$ là hình chữ nhật)

Áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{AE}}{{DC}}$

Vì $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{AE}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\;\;\left( 1 \right)\\ \Rightarrow FD = 2EF\;\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $\Delta AED$ và $\Delta BEG$ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {GBE} = {90^0}\\AE = EB\;\left( {gt} \right)\end{array}$

$\widehat {AED} = \widehat {BEG}$ (2 góc đối đỉnh bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta AED = \Delta BEG\;(g - c - g)$

$\Rightarrow ED = EG$ (các cạnh tương ứng)

Ta thấy: $\dfrac{{FD}}{{FG}} = \dfrac{{2EF}}{{FE + EG}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + ED}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + EF + FD}} = \dfrac{{2EF}}{{EF + EF + 2EF}} = \dfrac{{2EF}}{{4EF}} = \dfrac{1}{2}$(2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FG}}$

$\Leftrightarrow F{D^2} = EF.FG$