Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Phương trình dạng $ax + b = 0,$ với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0,$ được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án A: không là phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến $x,y$.

Đáp án B: là phương trình bậc nhất vì $x - 3 = - x + 2 \Leftrightarrow 2x - 5 = 0$ có $a = 2 \ne 0$.

Đáp án C: không là phương trình bậc nhất vì bậc của $x$ là $2$.

Đáp án D: không là phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến $x,y$.

Đáp án A: $2x - 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow \left( {2x - 2x} \right) - 3 - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 0x - 4 = 0$ có $a = 0$ nên không là phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án B: $- x + 3 = 0$ có $a =  - 1 \ne 0$ nên là phương trình bậc nhất.

Đáp án C: $5 - x =  - 4$$\Leftrightarrow  - x + 9 = 0$ có $a =  - 1 \ne 0$ nên là phương trình bậc nhất.

Đáp án D: ${x^2} + x = 2 + {x^2}$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 - {x^2} = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ nên là phương trình bậc nhất.

$\begin{array}{l}x - 3 =  - x + 2\\ \Leftrightarrow x - 3 + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}$.

$5 - {x^2} =  - {x^2} + 2x - 1$

$\Leftrightarrow 5 - {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow  - 2x + 6 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 2x =  - 6\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

$\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} + 4x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = {x^2} + 4x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - 6x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 6x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{2}{3}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}3 - 5x =  - 2\\ \Leftrightarrow  - 5x =  - 2 - 3\\ \Leftrightarrow  - 5x =  - 5\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Khi đó ${x_0} = 1$, do đó $S = {5.1^2} - 1 = 4$.

$\begin{array}{l}5x - 12 = 4 - 3x\\ \Leftrightarrow 5x + 3x = 4 + 12\\ \Leftrightarrow 8x = 16\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}$

Do đó phương trình có nghiệm ${x_0} = 2$.

Đáp án A: Thay ${x_0} = 2$ ta được $2.2 - 4 = 0$ nên ${x_0} = 2$ là nghiệm của phương trình.

$\begin{array}{l}4\left| {2x - 1} \right| - 3 = 1\\ \Leftrightarrow 4\left| {2x - 1} \right| = 1 + 3\\ \Leftrightarrow 4\left| {2x - 1} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 1\\2x - 1 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\end{array}$

Do $x$ nguyên dương nên phương trình chỉ có một nghiệm $x = 1$ nguyên dương.

$\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3 - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow 3x - 6 - 2{x^2} - 2x = 3 - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow x - 6 - 2{x^2} - 3 + 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = 9$ là số nguyên dương.

Để $A = B$ thì:

$\begin{array}{l} - \dfrac{{x + 3}}{5} + \dfrac{{x - 2}}{7} = x - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x - 2} \right)}}{{35}} = \dfrac{{35\left( {x - 1} \right)}}{{35}}\\ \Leftrightarrow  - 7x - 21 + 5x - 10 = 35x - 35\\ \Leftrightarrow  - 7x + 5x - 35x =  - 35 + 21 + 10\\ \Leftrightarrow  - 37x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{{37}}\end{array}$

Vậy để $A = B$ thì $x = \dfrac{4}{{37}}$.

Ta có: $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{12}} = \dfrac{{36}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 6 + 3x + 9}}{{12}} = \dfrac{{36 - 4x - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow 9x + 15 = 28 - 4x\\ \Leftrightarrow 9x + 4x = 28 - 15\\ \Leftrightarrow 13x = 13\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ không là số nguyên tố cũng không là hợp số.

+ Ta có:

$\begin{array}{l}3\left( {x - 1} \right) =  - 3 + 3x\\ \Leftrightarrow 3x - 3 =  - 3 + 3x\\ \Leftrightarrow 3x - 3x =  - 3 + 3\\ \Leftrightarrow 0x = 0\end{array}$

Điều này luôn đúng với mọi $x \in R$.

Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm.

Lại có:

$\begin{array}{l}{\left( {2 - x} \right)^2} = {x^2} + 2x - 6\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 4x + {x^2} = {x^2} + 2x - 6x - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} - 4x - 2x + 6x + 4 + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 16 = 0\left( {vo\,li} \right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó (1) vô số nghiệm, (2) vô nghiệm.

$\left( { - {m^2} - m + 2} \right)x = m + 2(*)$

Ta có: $- {m^2} - m + 2 =  - {m^2} - 2m + m + 2$$=  - m\left( {m + 2} \right) + \left( {m + 2} \right)$$= \left( {m + 2} \right)\left( { - m + 1} \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ vô số nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} - m + 2 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)\left( { - m + 1} \right) = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\ - m + 1 = 0\end{array} \right.\\m + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = 1\end{array} \right.\\m =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy với $m =  - 2$ thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Ta có:

${\left( {x + 1} \right)^3} - 1 = 3 - 5x + 3{x^2} + {x^3}$$\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 1 = 3 - 5x + 3{x^2} + {x^3}$

$\Leftrightarrow {x^3} - {x^3} + 3{x^2} - 3{x^2} + 3x + 5x - 3 = 0$$\Leftrightarrow 8x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{8}$

Suy ra ${x_1} = \dfrac{3}{8}$.

+ Ta có:

$2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2{x^2} + x - 3 = 0$$\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2{x^2} + x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow  - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{3}$

Suy ra ${x_2} =  - \dfrac{1}{3}$.

Nên ${x_1} + {x_2} = \dfrac{3}{8} + \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{{24}}$.

Xét phương trình $\left( {3m - 3} \right)x + m = 3{m^2} + 1$ có $a = 3m - 3$

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì

$a \ne 0 \Leftrightarrow 3m - 3 \ne 0$$\Leftrightarrow 3m \ne 3 \Leftrightarrow m \ne 1$

Vậy $m \ne 1$, mà $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên $m = 2$.

Ta có:

$\dfrac{{x - 2}}{{77}} + \dfrac{{x - 1}}{{78}} = \dfrac{{x - 74}}{5} + \dfrac{{x - 73}}{6}$$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 2}}{{77}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 1}}{{78}} - 1} \right)$$= \left( {\dfrac{{x - 74}}{5} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73}}{6} - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 79}}{{77}} + \dfrac{{x - 79}}{{78}} = \dfrac{{x - 79}}{5} + \dfrac{{x - 79}}{6}$$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 79}}{{77}} + \dfrac{{x - 79}}{{78}} - \dfrac{{x - 79}}{5} - \dfrac{{x - 79}}{6} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 79} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 79 = 0 \Leftrightarrow x = 79$

(vì $\dfrac{1}{{77}} < \dfrac{1}{5},\dfrac{1}{{78}} < \dfrac{1}{6}$ nên $\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} < 0$)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 79$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{x - a}}{{b + c}} + \dfrac{{x - b}}{{a + c}} + \dfrac{{x - c}}{{a + b}} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - a}}{{b + c}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - b}}{{a + c}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - c}}{{a + b}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - a - b - c}}{{b + c}} + \dfrac{{x - a - b - c}}{{a + c}} + \dfrac{{x - a - b - c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a - b - c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - a - b - c = 0\\ \Leftrightarrow x = a + b + c\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = a + b + c$.

Phương trình dạng $ax + b = 0,$với a và b là hai số đã cho và $a \ne 0,$ được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Các phương trình ${(x - 1)^2} = 9$ và $\dfrac{1}{2}{x^2} - 1 = 0$ là các phương trình bậc hai.

Phương trình $0,3x - 4y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương trình $2x - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.