Phương trình \(ax + b = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn nếu:
Phương trình dạng \(ax + b = 0,\) với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất một ẩn số?
Đáp án A: không là phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến \(x,y\).
Đáp án B: là phương trình bậc nhất vì \(x - 3 = - x + 2 \Leftrightarrow 2x - 5 = 0\) có \(a = 2 \ne 0\).
Đáp án C: không là phương trình bậc nhất vì bậc của \(x\) là \(2\).
Đáp án D: không là phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến \(x,y\).
Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất?
Đáp án A: \(2x - 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow \left( {2x - 2x} \right) - 3 - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 0x - 4 = 0\) có \(a = 0\) nên không là phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B: \( - x + 3 = 0\) có \(a = - 1 \ne 0\) nên là phương trình bậc nhất.
Đáp án C: \(5 - x = - 4\)\( \Leftrightarrow - x + 9 = 0\) có \(a = - 1 \ne 0\) nên là phương trình bậc nhất.
Đáp án D: \({x^2} + x = 2 + {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 - {x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) nên là phương trình bậc nhất.
Phương trình \(x - 3 = - x + 2\) có tập nghiệm là:
\(\begin{array}{l}x - 3 = - x + 2\\ \Leftrightarrow x - 3 + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\).
Phương trình \(5 - {x^2} = - {x^2} + 2x - 1\) có nghiệm là:
\(5 - {x^2} = - {x^2} + 2x - 1\)
\( \Leftrightarrow 5 - {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2x + 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2x = - 6\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\).
Số nghiệm của phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} + 4x - 3\) là:
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} + 4x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = {x^2} + 4x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 6x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 6x = - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{2}{3}\).
Giả sử \({x_0}\) là một số thực thỏa mãn \(3 - 5x = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 5x_0^2 - 1\) ta được:
Ta có:
\(\begin{array}{l}3 - 5x = - 2\\ \Leftrightarrow - 5x = - 2 - 3\\ \Leftrightarrow - 5x = - 5\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Khi đó \({x_0} = 1\), do đó \(S = {5.1^2} - 1 = 4\).
Gọi \({x_0}\) là một nghiệm của phương trình \(5x - 12 = 4 - 3x\). \({x_0}\) còn là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
\(\begin{array}{l}5x - 12 = 4 - 3x\\ \Leftrightarrow 5x + 3x = 4 + 12\\ \Leftrightarrow 8x = 16\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
Do đó phương trình có nghiệm \({x_0} = 2\).
Đáp án A: Thay \({x_0} = 2\) ta được \(2.2 - 4 = 0\) nên \({x_0} = 2\) là nghiệm của phương trình.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| - 3 = 1\) là:
\(\begin{array}{l}4\left| {2x - 1} \right| - 3 = 1\\ \Leftrightarrow 4\left| {2x - 1} \right| = 1 + 3\\ \Leftrightarrow 4\left| {2x - 1} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 1\\2x - 1 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(x\) nguyên dương nên phương trình chỉ có một nghiệm \(x = 1\) nguyên dương.
Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(3\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3 - 2{x^2}\). Chọn khẳng định đúng.
\(\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3 - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow 3x - 6 - 2{x^2} - 2x = 3 - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow x - 6 - 2{x^2} - 3 + 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \({x_0} = 9\) là số nguyên dương.
Cho \(A = - \dfrac{{x + 3}}{5} + \dfrac{{x - 2}}{7}\) và \(B = x - 1\). Giá trị của \(x\) để \(A = B\) là:
Để \(A = B\) thì:
\(\begin{array}{l} - \dfrac{{x + 3}}{5} + \dfrac{{x - 2}}{7} = x - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x - 2} \right)}}{{35}} = \dfrac{{35\left( {x - 1} \right)}}{{35}}\\ \Leftrightarrow - 7x - 21 + 5x - 10 = 35x - 35\\ \Leftrightarrow - 7x + 5x - 35x = - 35 + 21 + 10\\ \Leftrightarrow - 37x = - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{{37}}\end{array}\)
Vậy để \(A = B\) thì \(x = \dfrac{4}{{37}}\).
Kết luận nào sau đây là đúng nhất khi nói về nghiệm \({x_0}\) của phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}\).
Ta có: \(\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{12}} = \dfrac{{36}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 6 + 3x + 9}}{{12}} = \dfrac{{36 - 4x - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow 9x + 15 = 28 - 4x\\ \Leftrightarrow 9x + 4x = 28 - 15\\ \Leftrightarrow 13x = 13\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Cho hai phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = - 3 + 3x\,\,\left( 1 \right)\) và \({\left( {2 - x} \right)^2} = {x^2} + 2x - 6\left( {x + 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Chọn khẳng định đúng.
+ Ta có:
\(\begin{array}{l}3\left( {x - 1} \right) = - 3 + 3x\\ \Leftrightarrow 3x - 3 = - 3 + 3x\\ \Leftrightarrow 3x - 3x = - 3 + 3\\ \Leftrightarrow 0x = 0\end{array}\)
Điều này luôn đúng với mọi \(x \in R\).
Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm.
Lại có:
\(\begin{array}{l}{\left( {2 - x} \right)^2} = {x^2} + 2x - 6\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 4x + {x^2} = {x^2} + 2x - 6x - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} - 4x - 2x + 6x + 4 + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 16 = 0\left( {vo\,li} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Do đó (1) vô số nghiệm, (2) vô nghiệm.
Cho phương trình: \(\left( { - {m^2} - m + 2} \right)x = m + 2\), với \(m\) là tham số. Giá trị của \(m\) để phương trình vô số nghiệm là:
\(\left( { - {m^2} - m + 2} \right)x = m + 2(*)\)
Ta có: \( - {m^2} - m + 2 = - {m^2} - 2m + m + 2\)\( = - m\left( {m + 2} \right) + \left( {m + 2} \right)\)\( = \left( {m + 2} \right)\left( { - m + 1} \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} - m + 2 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)\left( { - m + 1} \right) = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\ - m + 1 = 0\end{array} \right.\\m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 1\end{array} \right.\\m = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\)
Vậy với \(m = - 2\) thì phương trình có vô số nghiệm.
Gọi \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\left( {x + 1} \right)^3} - 1 = 3 - 5x + 3{x^2} + {x^3}\) và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2{x^2} + x - 3 = 0\). Giá trị \(S = {x_1} + {x_2}\) là:
+ Ta có:
\({\left( {x + 1} \right)^3} - 1 = 3 - 5x + 3{x^2} + {x^3}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 1 = 3 - 5x + 3{x^2} + {x^3}\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - {x^3} + 3{x^2} - 3{x^2} + 3x + 5x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 8x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{8}\)
Suy ra \({x_1} = \dfrac{3}{8}\).
+ Ta có:
\(2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2{x^2} + x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2{x^2} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{3}\)
Suy ra \({x_2} = - \dfrac{1}{3}\).
Nên \({x_1} + {x_2} = \dfrac{3}{8} + \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{{24}}\).
Số nguyên dương nhỏ nhất của \(m\) để phương trình \(\left( {3m - 3} \right)x + m = 3{m^2} + 1\) có nghiệm duy nhất là:
Xét phương trình \(\left( {3m - 3} \right)x + m = 3{m^2} + 1\) có \(a = 3m - 3\)
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì
\(a \ne 0 \Leftrightarrow 3m - 3 \ne 0\)\( \Leftrightarrow 3m \ne 3 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Vậy \(m \ne 1\), mà \(m\) là số nguyên dương nhỏ nhất nên \(m = 2\).
Phương trình \(\dfrac{{x - 2}}{{77}} + \dfrac{{x - 1}}{{78}} = \dfrac{{x - 74}}{5} + \dfrac{{x - 73}}{6}\) có nghiệm là:
Ta có:
\(\dfrac{{x - 2}}{{77}} + \dfrac{{x - 1}}{{78}} = \dfrac{{x - 74}}{5} + \dfrac{{x - 73}}{6}\)\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 2}}{{77}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 1}}{{78}} - 1} \right)\)\( = \left( {\dfrac{{x - 74}}{5} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73}}{6} - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 79}}{{77}} + \dfrac{{x - 79}}{{78}} = \dfrac{{x - 79}}{5} + \dfrac{{x - 79}}{6}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 79}}{{77}} + \dfrac{{x - 79}}{{78}} - \dfrac{{x - 79}}{5} - \dfrac{{x - 79}}{6} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 79} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 79 = 0 \Leftrightarrow x = 79\)
(vì \(\dfrac{1}{{77}} < \dfrac{1}{5},\dfrac{1}{{78}} < \dfrac{1}{6}\) nên \(\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} < 0\))
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 79\).
Cho \(\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ne 0\), nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - a}}{{b + c}} + \dfrac{{x - b}}{{a + c}} + \dfrac{{x - c}}{{a + b}} = 3\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - a}}{{b + c}} + \dfrac{{x - b}}{{a + c}} + \dfrac{{x - c}}{{a + b}} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - a}}{{b + c}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - b}}{{a + c}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - c}}{{a + b}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - a - b - c}}{{b + c}} + \dfrac{{x - a - b - c}}{{a + c}} + \dfrac{{x - a - b - c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a - b - c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - a - b - c = 0\\ \Leftrightarrow x = a + b + c\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = a + b + c\).
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
Các phương trình ${(x - 1)^2} = 9$ và $\dfrac{1}{2}{x^2} - 1 = 0$ là các phương trình bậc hai.
Phương trình $0,3x - 4y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình $2x - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.
