Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Với $BH = 9cm,HC = 16cm$ .

$\Rightarrow BC = BH + HC$$= 9 + 16 = 25\;cm$

Ta có: $A{H^2} = HB.HC$ (cmt)

$\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = 9.16 = 144\\ \Rightarrow AH = 12\;cm\end{array}$

Nên diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.12.25 = 150\,c{m^2}$ .

Ta có: $\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}$

Mà: $\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ 

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: $\widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC$

Ta có: $\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}$

Mà: $\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ 

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: $\widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC$

Xét 2 tam giác vuông $ABD$ và $HBI$ có:

$\widehat {ABD} = \widehat {HBI}$ ($BD$  là tia phân giác của góc $B$ )

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta HBI\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}$$\Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\;$

+  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$  ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}$

+ Vì $BD$  là đường phân giác của tam giác $ABC$  nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}$$\Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD$$= 8 - 3 = 5\;cm$

+  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$  ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}$

+ Vì $BD$  là đường phân giác của tam giác $ABC$  nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}$$\Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD$$= 8 - 3 = 5\;cm$

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Xét $2$ tam giác vuông $AHB$ và $CHA$ có: $\widehat {BAH} = \widehat {ACH}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)$

$\Rightarrow$ A đúng.

Xét $2$ tam giác vuông $AHC$ và $BAC$ có:

    $\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)$

$\Rightarrow$ D đúng.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BAH$ và $\Delta BCA$ có:

$\widehat B$ chung

$\widehat {BAH} = \widehat {BCA}\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta BAH \backsim \Delta BCA\left( {g - g} \right)$ nên B đúng, C sai.

Vì $\Delta ABC\backsim\Delta DHE$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$ nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác $DHE$ và $ABC$ là $\dfrac{3}{2}$.

Vậy tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{3}{2}$.

Kẻ đường cao $AD$. Xét $\Delta CBE$ và $\Delta ABD$ có: $\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ và $\widehat B$ chung nên

$\Delta CBE\backsim\Delta ABD$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}$ hay $\dfrac{{18}}{{AB}} = \dfrac{{6,75}}{9}$

$\Rightarrow AB = 24{\rm{cm}}$.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $ABC$ và $HBA$ có: $\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm$$\Rightarrow HC = BC - HB = 5 - 1,8 = 3,2cm$

Mặt khác:

$\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm$

Nên $HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$, $HC = 3,2cm,BC = 5cm$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $BD = DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Theo định lý Py-ta-go, ta có: $A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {20^2} - {12^2} = {16^2}$ nên $AD = 16{\rm{cm}}$.

Xét $\Delta CDH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {CDH} = \widehat {ADB} = {90^o}$.

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}$ (cùng phụ với $\widehat B$).

Do đó $\Delta CDH\backsim\Delta ADB$ (g.g)

Nên $\dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{{HC}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{AD}}$, tức là $\dfrac{{HD}}{{12}} = \dfrac{{HC}}{{20}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4}$

Suy ra $HD = 9{\rm{cm}}$$\Rightarrow AH = AD - HD = 16 - 9 = 7cm$.

Xét 2 tam giác vuông $\Delta ADO$$(\widehat {DAO} = {90^0})$ và $\Delta ECO$$(\widehat {CEO} = {90^0})$ ta có:

     $\widehat {AOD} = \widehat {EOC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADO\backsim\Delta ECO\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{DO}}{{CO}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4.6}}{5} = 4,8$

Vì $\Delta ADO$ vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} + A{O^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow A{O^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow AO = 3\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $\Delta CEO\;(\widehat {CEO} = {90^0})$ và $\Delta CAB\;(\widehat {CAB} = {90^0})$ có: $\widehat C$ chung

$\Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CB}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{CO}}{{CE + EB}} = \dfrac{{CE}}{{CO + OA}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{4,8 + y}} = \dfrac{{4,8}}{{6 + 3}} \Leftrightarrow y = 6,45$

Vậy $x = 4,8;\;y = 6,45$.

Ta có: $A{H^2} = HB.HC$ (cmt)

$\Rightarrow {16^2} = 8.HC \Rightarrow HC = 32\;cm$

$\Rightarrow BC = BH + HC = 8 + 32 = 40\;cm$

Nên diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.16.40 = 320\,c{m^2}$.

Ta có: $\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}$

Mà: $\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}$

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: $\widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC$ $\Rightarrow HB.HC = {16^2} = 256$.

Ta có: $\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}$

Mà: $\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}$

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: $\widehat {HAC} = \widehat {HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC$ $\Rightarrow HB.HC = {16^2} = 256$.

Xét 2 tam giác vuông ABD và HBI có:

$\widehat {ABD} = \widehat {HBI}$ ($BD$ là tia phân giác của góc $B$ )

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta HBI\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}} \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\;$

+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}$

+ Vì $BD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD = 8 - 3 = 5\;cm.\end{array}$.

+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}$

+ Vì $BD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD = 8 - 3 = 5\;cm.\end{array}$.

Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:

$\widehat {BAE} = \widehat {CAF}$ (vì AD là tia phân giác của góc A)

$\Rightarrow \Delta ABE\backsim\Delta ACF\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\;(1)$$\Rightarrow AE.CF = AF.BE$ hay A đúng.

Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:

$\widehat {EDB} = \widehat {FDC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta BDE\backsim\Delta CDF$ (g – g)

$\Rightarrow \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\;(2)$ hay D đúng.

Từ (1) và (2) ta có:

$\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} \Leftrightarrow AE.DF = AF.DE$ hay C đúng.