Cho $BH = 9cm,HC = 16cm$ . Tính diện tích của tam giác \(ABC\) .
Với $BH = 9cm,HC = 16cm$ .
\( \Rightarrow BC = BH + HC \)\(= 9 + 16 = 25\;cm\)
Ta có: \(A{H^2} = HB.HC\) (cmt)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = 9.16 = 144\\ \Rightarrow AH = 12\;cm\end{array}\)
Nên diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.12.25 = 150\,c{m^2}\) .
Tích \(HB.HC\) bằng
Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\)
Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\)
Tích \(HB.HC\) bằng
Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\)
Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\)
Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BD$ . Chọn câu đúng.
Xét 2 tam giác vuông $ABD$ và $HBI$ có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBI}\) ($BD$ là tia phân giác của góc $B$ )
\( \Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta HBI\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}\)\( \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\;\)
Tính độ dài các đoạn $AD,DC$ lần lượt là
+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)
+ Vì $BD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD \)\(= 8 - 3 = 5\;cm\)
Tính độ dài các đoạn $AD,DC$ lần lượt là
+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)
+ Vì $BD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD \)\(= 8 - 3 = 5\;cm\)
Cho hai tam giác vuông. Điều kiện để hai tam giác vuông đó đồng dạng là:
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Cho hình vẽ dưới đây với \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\).
Chọn mệnh đề sai:
Xét \(2\) tam giác vuông \(AHB\) và \(CHA\) có: \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \) A đúng.
Xét \(2\) tam giác vuông \(AHC\) và \(BAC\) có:
\(\widehat C\) chung
\( \Rightarrow \Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \) D đúng.
Xét hai tam giác vuông \(\Delta BAH\) và \(\Delta BCA\) có:
\(\widehat B\) chung
\(\widehat {BAH} = \widehat {BCA}\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta BAH \backsim \Delta BCA\left( {g - g} \right)\) nên B đúng, C sai.
Cho \(\Delta ABC\backsim\Delta DHE\) với tỉ số đồng dạng \(\dfrac{2}{3}\). Tỉ số hai đường cao tương ứng của \(\Delta DHE\) và \(\Delta ABC\) là:
Vì \(\Delta ABC\backsim\Delta DHE\) với tỉ số đồng dạng \(\dfrac{2}{3}\) nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác \(DHE\) và \(ABC\) là \(\dfrac{3}{2}\).
Vậy tỉ số hai đường cao tương ứng của \(\Delta DHE\) và \(\Delta ABC\) là \(\dfrac{3}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc \(AB\) tại \(CE\). Tính \(AB\), biết \(BC = 18\) cm và \(BE = 6,75\)cm.
Kẻ đường cao \(AD\). Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta ABD\) có: \(\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) chung nên
\(\Delta CBE\backsim\Delta ABD\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}\) hay \(\dfrac{{18}}{{AB}} = \dfrac{{6,75}}{9}\)
\( \Rightarrow AB = 24{\rm{cm}}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Cho biết \(AB = 3cm\); \(AC = 4cm\). Chọn kết luận không đúng.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông \(ABC\) và \(HBA\) có: \(\widehat B\) chung
\( \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm\)\( \Rightarrow HC = BC - HB = 5 - 1,8 = 3,2cm\)
Mặt khác:
\(\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm\)
Nên \(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm\), \(HC = 3,2cm,BC = 5cm\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(AC = 20{\rm{cm}}\), \(BC = 24{\rm{cm}}\), các đường cao \(AD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(H\). Độ dài \(AH\) là:
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(BD = DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Theo định lý Py-ta-go, ta có: \(A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {20^2} - {12^2} = {16^2}\) nên \(AD = 16{\rm{cm}}\).
Xét \(\Delta CDH\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat {CDH} = \widehat {ADB} = {90^o}\).
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat B\)).
Do đó \(\Delta CDH\backsim\Delta ADB\) (g.g)
Nên \(\dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{{HC}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{AD}}\), tức là \(\dfrac{{HD}}{{12}} = \dfrac{{HC}}{{20}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4}\)
Suy ra \(HD = 9{\rm{cm}}\)\( \Rightarrow AH = AD - HD = 16 - 9 = 7cm\).
Với giả thiết được cho trong hình, kết quả nào sau đây là đúng?
Xét 2 tam giác vuông \(\Delta ADO\)\((\widehat {DAO} = {90^0})\) và \(\Delta ECO\)\((\widehat {CEO} = {90^0})\) ta có:
\(\widehat {AOD} = \widehat {EOC}\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADO\backsim\Delta ECO\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{DO}}{{CO}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4.6}}{5} = 4,8\)
Vì \(\Delta ADO\) vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} + A{O^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow A{O^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow AO = 3\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông \(\Delta CEO\;(\widehat {CEO} = {90^0})\) và \(\Delta CAB\;(\widehat {CAB} = {90^0})\) có: \(\widehat C\) chung
\( \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CB}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{CO}}{{CE + EB}} = \dfrac{{CE}}{{CO + OA}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{4,8 + y}} = \dfrac{{4,8}}{{6 + 3}} \Leftrightarrow y = 6,45\)
Vậy \(x = 4,8;\;y = 6,45\).
Tính diện tích của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(A{H^2} = HB.HC\) (cmt)
\( \Rightarrow {16^2} = 8.HC \Rightarrow HC = 32\;cm\)
\( \Rightarrow BC = BH + HC = 8 + 32 = 40\;cm\)
Nên diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.16.40 = 320\,c{m^2}\).
Tích \(HB.HC\) bằng:
Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\)
Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\) \( \Rightarrow HB.HC = {16^2} = 256\).
Tích \(HB.HC\) bằng:
Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\)
Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\) \( \Rightarrow HB.HC = {16^2} = 256\).
Chọn khẳng định đúng.
Xét 2 tam giác vuông ABD và HBI có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBI}\) (\(BD\) là tia phân giác của góc \(B\) )
\( \Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta HBI\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}} \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\;\)
Chọn kết luận đúng.
+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)
+ Vì \(BD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\) nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD = 8 - 3 = 5\;cm.\end{array}\).
Chọn kết luận đúng.
+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)
+ Vì \(BD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\) nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD = 8 - 3 = 5\;cm.\end{array}\).
Cho tam giác \(ABC\), phân giác \(AD\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) và \(C\) lên \(AD\).
Chọn khẳng định không đúng.
Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAF}\) (vì AD là tia phân giác của góc A)
\( \Rightarrow \Delta ABE\backsim\Delta ACF\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\;(1)\)\( \Rightarrow AE.CF = AF.BE\) hay A đúng.
Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:
\(\widehat {EDB} = \widehat {FDC}\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BDE\backsim\Delta CDF\) (g – g)
\( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\;(2)\) hay D đúng.
Từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} \Leftrightarrow AE.DF = AF.DE\) hay C đúng.
