Thể tích hình hộp chữ nhật

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: $V = a.a.2a = 2{a^3}$ (đvtt)

Thể tích hình lập phương cạnh $a$ là: $V = {a^3}\left( {c{m^3}} \right)$.

Vì $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên ABCD, $ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có: $AD = BC = 3cm$

Xét hình chữ nhật $CDD'C'$ có: $D'C' = DC = 6cm$

Xét hình chữ nhật $AA'C'C$ có: $AA' = CC' = 4cm$

Xét hình chữ nhật $ABB'A'$ có: $A'B' = AB = 6cm$

Vậy $AD = 3cm,D'C' = 6cm,$ $AA' = 4cm,A'B' = 6cm$.

Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật nên ta tính được thể tích bể nước là: $V = 6.4.2 = 48\left( {{m^3}} \right)$

Vì $\dfrac{3}{4}$bể đang chứa nước nên thể tích phần bể chứa nước là: V_{chứa nước}$= \dfrac{3}{4}V = \dfrac{3}{4}.48 = 36\left( {{m^3}} \right)$

Vậy thể tích bể đang không chứa nước là: V_{không chứa nước} = V $-$ V_{chứa nước}$= 48 - 36 = 12\left( {{m^3}} \right)$.

Vì $ABCD.EFGH$ là hình hộp chữ nhật nên $ABFE,BCGF,CDHG,DAEH$ là hình chữ nhật.

Ta có:

$AE \bot EF$ (Vì $ABEF$ là hình chữ nhật)

$AE \bot EH$ (Vì $DAEH$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow AE \bot mp\,(EFGH)$

Ta có:

            $BF \bot EF$ (Vì $ABEF$  là hình chữ nhật)

            $BF \bot FG$ (Vì $BCGF$  là hình chữ nhật)

$\Rightarrow BF \bot mp\;(EFGH)$

Ta có:

            $CG \bot GF$ (Vì $BCGF$ là hình chữ nhật)

            $CG \bot GH$ (Vì $CDHG$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow CG \bot mp\,(EFGH)$

Do đó A, B, C đúng.

Đáp án D sai vì $AB//EF$ và $EF$ nằm trong $mp\left( {EFGH} \right)$ nên $AB//\left( {EFGH} \right)$.

Ta có:

            $BB' \bot BC$ (Vì $BCC'B'$ là hình chữ nhật)

            $BB' \bot BA$ (Vì $ABB'A'$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow BB' \bot mp\,(ABCD)$

Gọi chiều dài một cạnh của hình lập phương $A$ là $a$.

Vì hình lập phương $A$ có cạnh bằng $\dfrac{1}{2}$ cạnh của hình lập phương $B$ nên chiều dài $1$ cạnh của hình lập phương $B$ là $2a$.

Thể tích hình lập phương A là: ${V_A} = {a^3}$

Thể tích hình lập phương B là: ${V_B} = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}$

$\Rightarrow {V_B} = 8{V_A} \Rightarrow {V_A} = \dfrac{1}{8}{V_B}$

Vậy thể tích hình lập phương $A$ bằng $\dfrac{1}{8}$ thể tích hình lập phương $B$.

Chiếc hộp hình lập phương gồm $5$ hình vuông, mỗi hình vuông được sơn $1$ mặt nên diện tích mỗi hình vuông là: $2880:5 = 576\left( {c{m^2}} \right)$

Cạnh của hình lập phương bằng $24$ cm, thể tích của hình lập phương bằng ${24^3} = 13824\left( {c{m^3}} \right)$.

Gọi $a$ là cạnh của hình lập phương.

Theo định lí Pytago ta có:

$AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2}$ $= A{B^2} + B{C^2} + CC{'^2}$ $= {a^2} + {a^2} + {a^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} = 27$

$\Leftrightarrow 3{a^2} = 27 \Leftrightarrow {a^2} = 9 \Leftrightarrow a = 3$

Từ đó $a = 3\left( {cm} \right)$. Thể tích của hình lập phương bằng ${3^3} = 27\left( {c{m^3}} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 5cm;\,AB = DC = 12\,cm$.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ADC$ ta được:

$AC = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\,cm$

Ta có: $CC' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $CC' \bot CD$.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AC'C$ ta được:

$CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}$ $= \sqrt {16,{{25}^2} - {{13}^2}}  = 9,75\,cm$

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng:

$5.12.9,75 = 585\left( {c{m^3}} \right)$.

Đổi $1m = 100cm$.

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

            $V = 100.70.30 = 210000\;c{m^3}$

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng $14000{\rm{ }}c{m^3}$

Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

            ${V_1} = V + 14000$$= 210000 + 14000 = 224000\;c{m^3}$

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi.

Gọi chiều cao mực nước lúc sau là $h$ cm. Ta có:

            $V = 100.70.h = 224000$$\Rightarrow h = \dfrac{{224000}}{{100.70}} = 32\;cm$.

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương $\Rightarrow$ Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một mặt thùng sắt là:

$S = 0,{8^2} = 0,64\;{m^2}$

Diện tích mặt ngoài thùng sắt là:

            $5S = 5.0,64 = 3,2\;{m^2}$

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

            $3,2.15000 = 48000$ đồng.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là $V = a.2a.\dfrac{a}{2} = {a^3}$ (đvtt)

Thể tích hình lập phương cạnh $5\,cm^3$ là:

            $V = {5^3} = 125\;c{m^3}$

Vì $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $ABCD,$ $ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABCD$  có: $AD = BC = 3cm,DC = AB = 6cm$

Xét hình chữ nhật $ABB'A'$ có:  $A'B' = AB = 6\;cm$

Vậy $A'B'$ và $AD$  lần lượt dài $6 cm$ và $3 cm.$

Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật nên ta tính được thể tích bể nước là: $V = 4.3.2,5 = 30\;{m^3}$

Vì $\dfrac{3}{4}$bể đang chứa nước nên thể tích phần bể chứa nước là:  Vchứa nước$= \dfrac{3}{4}V = \dfrac{3}{4}30 = 22,5\;{m^3}$

Vậy thể tích phần bể không chứa nước là:  Vkhông chứa nước = V $-$ Vchứa nước$= 30 - 22,5 = 7,5\;{m^3}$

Vì $ABCD.EFGH$ là hình hộp chữ nhật nên $ABFE,BCGF,CDHG,DAEH$ là hình chữ nhật.

Ta có:

+) $AE \bot EF$ (Vì $ABEF$  là hình chữ nhật)

+) $AE \bot EH$ (Vì $DAEH$  là hính chữ nhật)

$\Rightarrow AE \bot mp(EFGH)$

Ta có:

+) $BF \bot EF$ (Vì $ABEF$  là hình chữ nhật)

+) $BF \bot FG$ (Vì $BCGF$  là hình chữ nhật)

$\Rightarrow BF \bot mp(EFGH)$

Ta có:

 +) $CG \bot GF$ (Vì $BCGF$  là hình chữ nhật)

+) $CG \bot GH$ (Vì $CDHG$  là hình chữ nhật)

$\Rightarrow CG \bot mp\,(EFGH)$

Ta có:

+) $DH \bot HG$ (Vì $CDHG$  là hình chữ nhật)

+) $DH \bot HE$ (Vì $DAEH$  là hình chữ nhật)

$\Rightarrow DH \bot mp(EFGH)$

Vậy $AE,BF,CG,DH$ đều vuông góc với mặt phẳng $\left( {EFGH} \right)$

Ta có:

            $BB' \bot BC$ (Vì $BCC'B'$ là hình chữ nhật)

            $BB' \bot BA$ (Vì $ABB'A'$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow BB' \bot mp(ABCD)$

Ta có:

            $BB' \bot B'C'$ (Vì $BCC'B'$ là hình chữ nhật)

            $BB' \bot B'A'$ (Vì $ABB'A'$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow BB' \bot mp(A'B'C'D')$

Vậy $BB'$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và mặt phẳng $A'B'C'D'$ .

Gọi chiều dài một cạnh của hình lập phương $A$  là $a$ .

Vì hình lập phương $A$  có cạnh bằng $\dfrac{2}{3}$ cạnh của hình lập phương $B$  nên chiều dài $1$  cạnh của hình lập phương $B$  là $\dfrac{3}{2}a$.

Thể tích hình lập phương A là: ${V_A} = {a^3}$

Thể tích hình lập phương B là: ${V_B} = {\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)^3} = \dfrac{{27}}{8}{a^3}$

$\Rightarrow {V_B} = \dfrac{{27}}{8}{V_A} \Rightarrow {V_A} = \dfrac{8}{{27}}{V_B}$

Vậy thể tích hình lập phương $A$  bằng $\dfrac{8}{{27}}$ thể tích hình lập phương $B$ .

Chiếc hộp hình lập phương không nắp gồm $5$  hình vuông, mỗi hình vuông được sơn $2$  mặt nên diện tích mỗi hình vuông là: $1440:10 = 144\left( {c{m^2}} \right)$

Vì diện tích hình vuông bằng bình phương một cạnh nên cạnh của hình lập phương bằng $12 cm$ nên thể tích của hình lập phương bằng ${12^3} = 1728\left( {c{m^3}} \right)$ .