Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Vậy đa thức dư là $R =  - 2x + 2$ .

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là ${x^2} + 3x + 6$.

Ta có: $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)$$= \left( {3{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)$

$\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) = 3{x^2} - 2x + 4$

Hệ số tự do của thương là $4.$

Thương của phép chia là $2x - 3$ và dư là $- 5x + 1$

Ta có

$\;\left( {2{x^3} - 26x - 24} \right):\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)$

Vì phần dư $R = 0$ nên phép chia đa thức $\left( {2{x^3} - 26x - 24} \right)$cho đa thức ${x^2} + 4x + 3$ là phép chia hết.

Do đó (I) đúng.

Lại có

Nhận thấy phần dư $R = 0$ nên phép chia đa thức $\left( {{x^3} - 7x + 6} \right)$ cho đa thức $x + 3$ là phép chia hết. Do đó (II) đúng.

Ta có $({x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3})$

$= {x^4} + {x^2}{y^2} - \left( {{x^3}y + x{y^3}} \right)$$= {x^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$$= \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - xy} \right)$$= \left( {{x^2} + {y^2}} \right)x\left( {x - y} \right)$

Nên $({x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3}):({x^2} + {y^2})$$=x\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right):\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = x\left( {x - y} \right)$ .

$\left( {10{x^2} - 7x + a} \right) \vdots \left( {2x - 3} \right)$

Để $10{x^2} - 7x + a$ chia hết cho $2x - 3$ thì $a + 12 = 0 \Leftrightarrow a =  - 12$

Để ${x^3} + a{x^2}-4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì $4\left( {3-a} \right).x-4a + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {3 - a} \right) = 0\\12 - 4a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $a = 3$.

Ta có

Phần dư của phép chia trên là $R = \left( {a + 4} \right)x + b$ . Theo bài ra ta có $\left( {a + 4} \right)x + b = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4 = 2\\b =  - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 3\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài $a =  - 2;b =  - 3$ .

Ta có

Để ${x^4} + ax + b$ chia hết cho ${x^2} - 4$ thì $ax + b + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ax = 0\\b + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 16\end{array} \right.$

Vậy đa thức dư là $R = 0$ .

Đa thức thương là $3{x^3} + 2{x^2} - 5x + 3$ .

Đa thức dư là $- x + 1$ có hệ số tự do là $1$ .

Phần dư của phép chia là $a = 1 < 2$

Ta có

Vì phần dư $R = 5 \ne 0$ nên phép chia đa thức $3{x^3} - 2{x^2} + 5$ cho đa thức $3x - 2$ là phép chia có dư. Do đó (I) sai.

Lại có

Nhận thấy phần dư $R = 0$ nên phép chia đa thức $\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)$ cho đa thức $\left( {2{x^2} - x + 1} \right)$ là phép chia hết. Do đó (II) đúng.

Ta có $2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}$$= 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right)$$= 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right)$

$= \left( {a - b} \right)\left( {2{a^2} - ab - 4ab + 2{b^2}} \right) = \left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {2a - b} \right) - 2b\left( {2a - b} \right)} \right]$

$= \left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right)$

Nên $\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)$$= {\left( {a - b} \right)}.(2a-b).\left( {a - 2b} \right):\left( {2a - b} \right) = \left( {a - b} \right)(a-2b)$ .

Đa thức bị chia cần tìm là:

$\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + x - 2 = {x^2}.x + 3{x^2} + x.x + 3x + x + 3 + x - 2 = {x^3} + 4{x^2} + 5x + 1$

Tại $x = 3$ , ta có: $A = 4x = 4.3 = 12$

Ta có

Suy ra $27{x^2} + a = \left( {3x + 2} \right)\left( {9x - 6} \right) + a + 12$. Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = a + 12 = 0 \Leftrightarrow a =  - 12$ .

Ta có

Phần dư của phép chia đa thức ${x^4} + a{x^2} + 1$ chia hết cho${x^2} + 2x + 1$  là $R = \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2$ .

Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = 0 \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2 = 0$ với mọi $x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4 = 0\\ - a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a =  - 2$ .