Diện tích hình chữ nhật, diện tích tam giác

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({S_{ABCD}} = AD.DC = AB.AD\) nên A sai, B đúng

Ta có: \(\Delta ADC,\,\Delta ABC\) là các tam giác vuông nên \({S_{ADC}} = \dfrac{1}{2}AD.DC;\,{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC\), do đó C, D sai.

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó

Nếu \(a' = \dfrac{a}{6};\,\,\,b' = 3b;\,\) thì \(S' = a'.b' = \dfrac{1}{6}a.3b = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}S = \dfrac{1}{2}S\) .

Do đó diện tích mới giảm \(2\) lần so với diện tích đã cho.

Theo công thức tính diện tích tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông có độ dài \(a,b\) là \(S = \dfrac{1}{2}a.b\)

Tam giác vuông mới có độ dài hai cạnh góc vuông \(a',b'\) thì theo đề bài ta có  \(a' = \dfrac{1}{3}a;\,\,\,b' = 3b;\,\)

Khi đó, diện tích \(S' = \dfrac{1}{2}a'.b' = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}a.3b = \dfrac{1}{2}ab = S\)

Do đó diện tích hình tam giác mới không thay đổi so với tam giác ban đầu

Gọi \(AH\) là đường cao ứng với cạnh \(BC\). Theo công thức tính diện tích tam giác ta có \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.6 = 24 \Leftrightarrow AH = 8\,cm\).

Từ công thức tính diện tích tam giác ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.5.8 = 20\,c{m^2}\).

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\). 

Mà \(BM = 4CM\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{4}{5}BC;\,CM = \dfrac{1}{5}BC;\,\)

 Khi đó ta có:

 \(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{4}{5}BC\\ = \dfrac{4}{5}.\left( {\dfrac{1}{2}AH.BC} \right) = \dfrac{4}{5}{S_{ABC}}\end{array}\)

Suy ra A sai.

 \(\begin{array}{l}{S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.MB = \dfrac{1}{2}AH.4MC\\ = 4.\left( {\dfrac{1}{2}AH.MC} \right) = 4{S_{AMC}}\end{array}\)

Suy ra B sai.

 \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.5MC = 5{S_{AMC}}\)

 suy ra C đúng, D sai.

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\). 

Ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC;\,{S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC\)

Mà \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2AM\)

Từ đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.2MC = 2{S_{AMC}}\)

Suy ra \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.40 = 20\,c{m^2}\).

Vậy \({S_{AMC}} = 20\,c{m^2}\) .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(ABC\) ta có

 \(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {13^2} - {5^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 144 \Rightarrow AB = 12\,cm\end{array}\)

Suy ra \({S_{ABC}} = \dfrac{{AC.AB}}{2} = \dfrac{{5.12}}{2} = 30\,c{m^2}\).

Vì \(ABDC\) là hình chữ nhật nên \({S_{ABDC}} = AC.AB\) mà \({S_{ABC}} = \dfrac{{AC.AB}}{2}\)

Nên \({S_{ABDC}} = 2{S_{ABC}} = 2.55 = 110\,c{m^2}\).

+ Vì \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm các cạnh\(AB,BC,CD,DA\) nên \(EF;\,FG;\,GH;\,HE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(ABC;\,BCD;\,ADC;\,ADB\)

nên \(EF{\rm{//}}HG\) (vì cùng song song với \(AC\) ); \(HE{\rm{//}}FG\,\)( vì cùng song song với \(BD\) )

Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành, mà \(AC \bot BD\,\left( {gt} \right) \Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật.

Do đó \({S_{EFGH}} = HE.EF\), mà \(EF = \dfrac{1}{2}AC; \,HE = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình)

Nên \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{4}AC.BD\).

+ Gọi \(H\) là giao của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó

 \(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}}\\ = \dfrac{1}{2}BH.AC + \dfrac{1}{2}DH.AC\\ = \dfrac{1}{2}AC\left( {BH + DH} \right)\\ = \dfrac{1}{2}AC.BD\end{array}\)

Mà \({S_{ABCD}} = 40\,{m^2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}AC.BD = 40 \Rightarrow AC.BD = 80\,{m^2}\).

Suy ra \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{4}AC.BD = \dfrac{1}{4}.80 = 20\,{m^2}\).

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \(a\), ta có: \(S = a.15 \Leftrightarrow 15.a = 120 \Leftrightarrow a = 8\,cm\).

Chu vi hình chữ nhật là \(P = \left( {15 + 8} \right).2 = 46\,cm\).

+ Lấy $P$ là trung điểm của$CM$ .

Tam giác BCM có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).

Suy ra \(NP{\rm{//}}BM\)  (tính chất đường trung bình).

Tam giác $ANP$ có  \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(gt)\\OM{\rm{//}}NP\,\,\,({\rm{do}}\,\,NP{\rm{//}}BM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình) .

+ Ta có $OM$ là đường trung bình của tam giác $ANP$ (cmt) nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)

$NP$ là đường trung bình của tam giác $BCM$ nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .

Vậy \(AO = ON;\,BO = 3OM\) .

Hai tam giác $AOM$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên  \(\dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{OM}}{{BM}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABM}}\)

Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $B$ nên \(\dfrac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{ABM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)

Vậy \({S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.12 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Lấy $P$ là trung điểm của$CM$ .

Tam giác BCM có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).

Suy ra \(NP{\rm{//}}BM\)  (tính chất đường trung bình).

Tam giác $ANP$ có  \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(gt)\\OM{\rm{//}}NP\,\,\,({\rm{do}}\,\,NP{\rm{//}}BM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình) .

+ Ta có $OM$ là đường trung bình của tam giác $ANP$ (cmt) nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)

$NP$ là đường trung bình của tam giác $BCM$ nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .

Vậy \(AO = ON;\,BO = 3OM\) .

+ Lấy $P$ là trung điểm của$CM$ .

Tam giác BCM có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).

Suy ra \(NP{\rm{//}}BM\)  (tính chất đường trung bình).

Tam giác $ANP$ có  \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(gt)\\OM{\rm{//}}NP\,\,\,({\rm{do}}\,\,NP{\rm{//}}BM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình) .

+ Ta có $OM$ là đường trung bình của tam giác $ANP$ (cmt) nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)

$NP$ là đường trung bình của tam giác $BCM$ nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .

Vậy \(AO = ON;\,BO = 3OM\) .

+ Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: \(S = a.b\) .

+ Diện tích vuông bằng bình phương cạnh của nó: \(S = {a^2}\) .

+ Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông nên A đúng.

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó

Nếu \(a' = 4a;\,\,\,b' = \dfrac{1}{2}b;\,\) thì \(S' = a'.b' = 4a.\dfrac{1}{2}b = \dfrac{4}{2}ab = \dfrac{4}{2}S = 2S.\) 

Do đó diện tích tăng \(2\) lần so với diện tích đã cho.

Gọi \(a;b\) lần lượt là chiều dài và chều rộng của hình chữ nhật ban đầu.

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(S=a.b\)

Nếu giảm chiều dài đi 5 lần thì chiều dài mới là \(a' = \dfrac{1}{5}a \)

Nếu tăng chiều rộng 5 lần thì chiều rộng mới là \(b' = 5b\) 

Lúc này, diện tích của hình chữ nhật mới là \(S' = a'.b' = \dfrac{1}{5}a.5b = ab = S\)

Do đó diện tích hình chữ nhật không thay đổi.

Gọi \(AH\) là đường cao ứng với cạnh \(BC\) . Theo công thức tính diện tích tam giác ta có \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.8 = 16 \Leftrightarrow AH = 4\,cm\) .

Từ công thức tính diện tích tam giác ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.9.12 = 54\,c{m^2}\) .