Xe tải thứ nhất chở \(x\) tấn hàng, xe thứ hai chở gấp đôi xe thứ nhất. Số tấn hàng của xe thứ hai chở được tính theo \(x\) là:
Vì xe thức hai chở gấp đôi xe thứ nhất nên số tấn hàng của xe hai là \(2x\) (tấn).
Xe máy và ô tô cùng đi trên một con đường, biết vận tốc của xe máy là \(x\left( {km/h} \right)\) và mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy \(20km\). Công thức tính vận tốc ô tô là:
Mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy \(20km\) nghĩa là vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy \(20km/h\).
Khi đó vận tốc ô tô là \(x + 20\left( {km/h} \right)\).
Một ca nô và một tàu thủy khởi hành cùng một lúc trên một con sông. Biết tàu thủy đến chậm hơn ca nô \(3\) giờ. Nếu gọi thời gian đi của tàu thủy là \(x\) thì thời gian đi của ca nô là:
Tàu thủy đến chậm hơn ca nô \(3\) giờ hay thời gian đi của tàu thủy nhiều hơn ca nô là \(3\) giờ, nghĩa là ca nô đi với thời gian ít hơn tàu thủy \(3\) giờ.
Thời gian đi của tàu thủy là \(x - 3\left( h \right)\).
Một hình chữ nhật có chiều dài là \(x\left( {cm} \right)\), chiều dài hơn chiều rộng \(3\left( {cm} \right)\). Diện tích hình chữ nhật là \(4\left( {c{m^2}} \right)\). Phương trình ẩn \(x\) là:
Vì chiều dài hơn chiều rộng \(3cm\) nên chiều rộng là \(x - 3\left( {cm} \right)\).
Vì diện tích hình chữ nhật là \(4c{m^2}\) nên ta có phương trình: \(x\left( {x - 3} \right) = 4\).
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\), với vận tốc \(30\) km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc \(24\) km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là \(30\) phút. Hãy chọn câu đúng: Nếu gọi thời gian lúc đi là \(x\) (giờ,\(x > 0\)) thì phương trình của bài toán là:
Đổi: \(30\) phút \( = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\left( h \right).\)
Với thời gian lúc đi là \(x\) (giờ), quãng đường \(AB\) dài là: \(30x\left( {km} \right)\)
Thời gian người đó đi quãng đường \(AB\) lúc về là: \(\dfrac{{30x}}{{24}}\,\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{{30x}}{{24}} - x = \dfrac{1}{2}\).
Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt \(30\) áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được \(40\) áo nên đã hoàn thành trước thời hạn \(3\) ngày, ngoài ra còn làm thêm được \(20\) chiếc áo nữa. Hãy chọn câu đúng. Nếu số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm, \(x > 0,x \in \mathbb{N}\)) thì phương trình của bài toán là:
Gọi số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là: \(x\) (sản phẩm, \(x > 0, x \in \mathbb{N}\)).
Thời gian dự kiến xong là: \(\dfrac{x}{{30}}\) (ngày)
Vì theo thực tế đội làm được thêm \(20\) sản phẩm nên số sản phẩm thực tế làm được là: \(x + 20\) (sản phẩm).
Thời gian làm thực tế là: \(\dfrac{{x + 20}}{{40}}\) (ngày)
Vì đội hoàn thành trước thời hạn \(3\) ngày nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{30}} - \dfrac{{x + 20}}{{40}} = 3\).
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\), với vận tốc \(30\) km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc \(24\) km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là \(30\) phút. Thời gian lúc đi là:
Đổi: \(30\) phút \( = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\left( h \right).\)
Gọi thời gian lúc đi là \(x\) (giờ), quãng đường \(AB\) dài là: \(30x\left( {km} \right)\)
Thời gian người đó đi quãng đường \(AB\) lúc về là: \(\dfrac{{30x}}{{24}}\,\,\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{{30x}}{{24}} - x = \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{30x}}{{24}} - \dfrac{{24x}}{{24}} = \dfrac{{12}}{{24}}\) \( \Leftrightarrow 30x - 24x = 12\) \( \Leftrightarrow 6x = 12 \Leftrightarrow x = 2\) (giờ).
Một ca nô xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) hết \(1\,{\rm{h}}\,24\) phút và ngược dòng hết \(2h\). Biết vận tốc dòng nước là \(3\) km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?
Gọi vận tốc riêng của canô là \(x\,\left( {x > 3} \right)\) (km/h)
Vận tốc khi xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h)
Vận tốc khi ngược dòng là \(x - 3\) (km/h)
Đổi \(1\) giờ \(24\) phút\( = \dfrac{7}{5}\) giờ. Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông \(AB\) nên ta có phương trình:
\(\dfrac{7}{5}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{7}{5}x + \dfrac{{21}}{5} = 2x - 6\) \( \Leftrightarrow - \dfrac{3}{5}x = - \dfrac{{51}}{5} \Leftrightarrow x = 17\left( {TM} \right)\).
Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(17\) (km/h).
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \(56\) m. Nếu tăng chiều dài \(4\) m và giảm chiều rộng \(2\) m thì diện tích tăng \(8{m^2}\). Chiều dài của hình chữ nhật là:
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(56:2 = 28\left( m \right).\)
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\left( m \right),\,\left( {0 < x < 28} \right).\)
\( \Rightarrow \) Chiều rộng hình chữ nhật là: \(28 - x\left( m \right).\)
Diện tích hình chữ nhật là: \(x\left( {28 - x} \right) = 28x - {x^2}\left( {{m^2}} \right).\)
Tăng chiều dài lên \(4m\) thì chiều dài mới là: \(x + 4\,\left( m \right).\)
Giảm chiều rộng \(2m\) thì chiều rộng mới là: \(28 - x - 2 = 26 - x\left( m \right).\)
Diện tích hình chữ nhật mới là: \(\left( {x + 4} \right)\left( {26 - x} \right) = 104 + 22x - {x^2}\left( {{m^2}} \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(28x - {x^2} + 8 = 104 + 22x - {x^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6x = 96\\ \Leftrightarrow x = 16\,\left( {TM} \right).\end{array}\)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là \(16\) m.
Hình chữ nhật có đường chéo bằng \(10cm\). Chiều rộng kém chiều dài \(2cm\). Diện tích hình chữ nhật là:
Giả sử hình chữ nhật là \(ABCD\) có chiều dài \(AB = x\left( {cm} \right)\),\(\left( {x > 2} \right)\).
Chiều rộng \(BC\) là: \(x - 2\) \(\left( {cm} \right)\).
Độ dài đường chéo \(AC = 10cm\), theo định lí Pitago ta có:
\({x^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = {10^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 4x + 4 = 100\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 96 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 8} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 8 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\left( {TM} \right)\\x = - 6\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Do đó chiều dài hình chữ nhật là: \(8\left( {cm} \right)\) và chiều rộng là \(8.6 = 48\left( {c{m^2}} \right)\).
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(40km/h\). Đi được \(15\) phút, người đó gặp một ô tô từ \(B\) đến với vận tốc \(50km/h\). Ô tô đến \(A\) nghỉ \(15\) phút rồi trở về \(B\) và gặp người đi xe máy cách \(B\) là \(20km\). Quãng đường \(AB\) dài là:
Đổi \(15\) phút \( = \dfrac{1}{4}\) giờ.
Gọi \(C\) và \(D\) là nơi ô tô gặp xe máy lần thứ nhất và thứ hai.
Gọi quãng đường \(CD\) là: \(x\left( {km} \right)\).
Quang đường \(AC\) dài \(40.\dfrac{1}{4} = 10\left( {km} \right)\).
Thời gian người đi xe máy từ \(C\) đến \(D\) là: \(\dfrac{x}{{40}}\) giờ.
Trong thời gian đó, ô tô đi đoạn đường \(CA,AD\) và nghỉ \(15\) phút.
Ta có phương trình: \(\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{{10 + 10 + x}}{{50}} + \dfrac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{5x}}{{200}} = \dfrac{{4\left( {20 + x} \right)}}{{200}} + \dfrac{{50}}{{200}}\)
\( \Leftrightarrow 5x = 80 + 4x + 50\)
\( \Leftrightarrow x = 130\left( {TM} \right)\)
Quãng đường \(AB\) dài là: \(10 + 130 + 20 = 160\left( {km} \right)\).
Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt \(30\) áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được \(40\) áo nên đã hoàn thành trước thời hạn \(3\) ngày, ngoài ra còn làm thêm được \(20\) chiếc áo nữa. Số sản phẩm thực tế làm được là:
Gọi số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là: \(x\) (sản phẩm, \(x > 0,x \in \mathbb{N}\)).
Thời gian dự kiến xong là: \(\dfrac{x}{{30}}\) (ngày)
Vì theo thực tế đội làm được thêm \(20\) sản phẩm nên số sản phẩm thực tế làm được là: \(x + 20\) (sản phẩm).
Thời gian làm thực tế là: \(\dfrac{{x + 20}}{{40}}\) (ngày)
Vì đội hoàn thành trước thời hạn \(3\) ngày nên ta có phương trình: \(\dfrac{x}{{30}} - \dfrac{{x + 20}}{{40}} = 3\).
\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{120}} - \dfrac{{3\left( {x + 20} \right)}}{{120}} = \dfrac{{3.120}}{{120}}\) \( \Leftrightarrow 4x - 3x - 60 = 360\) \( \Leftrightarrow x = 420\left( {TM} \right)\)
Số sản phẩm theo dự kiến là: \(420\) (sản phẩm).
Số sản phẩm làm được thực tế là: \(420 + 20 = 440\) (sản phẩm).
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì bể sẽ đầy trong \(3\) giờ \(20\) phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong \(3\) giờ, vòi thứ hai chảy trong \(2\) giờ thì cả hai vòi chảy được \(\dfrac{4}{5}\) bể. Thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là:
Đổi \(3\) giờ \(20\) phút \( = \dfrac{{10}}{3}\) giờ.
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ), điều kiện:\(x > \dfrac{{10}}{3}\).
Coi bể đầy bằng \(1\) ta có:
Một giờ hai vòi chảy được \(1:\dfrac{{10}}{3} = \dfrac{3}{{10}}\) (bể).
Một giờ vòi \(1\) chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể).
Một giờ vòi \(2\) chảy được \(\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}\) (bể).
Trong \(3\) giờ vòi \(1\) chảy được \(3.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x}\) (bể)
Trong \(2\) giờ vòi \(2\) chảy được \(2.\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right)\) (bể)
Vòi \(1\) chảy trong \(3\) giờ và vòi \(2\) chảy trong \(2\) giờ được: \(\dfrac{3}{x} + 2\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right)\)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\dfrac{3}{x} + 2\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{4}{5}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{4}{5}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy nếu chảy một mình thì vòi \(1\) chảy trong \(5\) giờ đầy bể.
Một đội thợ mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thác \(50{m^3}\) than. Do siêng năng làm việc nên trên thực tế mỗi ngày đội khai thác được \(57{m^3}\) than. Vì vậy không những đã xong trước thời hạn \(1\) ngày mà còn vượt mức \(13{m^3}\) than. Theo kế hoạch, đội phải khai thác số \({m^3}\) than là:
Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành khai thác theo kế hoạch là: \(x\) (ngày, \(x > 1\)).
Thời gian đội hoàn thành khai thác theo thực tế là: \(x - 1\) (ngày).
Lượng than đội dự kiến khai thác là: \(50x\) (\({m^3}\)).
Lượng than đội khai thác thực tế là: \(57(x - 1)\) (\({m^3}\)).
Vì đội vượt mức \(13{m^3}\) nên ta có phương trình:
\(57\left( {x - 1} \right) = 50x + 13\) \( \Leftrightarrow 7x = 70 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy lượng than dự định khai thác là: \(10.50 = 500\left( {{m^3}} \right)\).
Trong tháng Giêng hai tổ sản xuất được \(720\) chi tiết máy. Tháng Hai, tổ \(1\) vượt mức \(15\% \), tổ hai vượt mức \(12\% \) nên sản xuất được \(819\) chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng, tổ \(2\) sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Gọi số chi tiết máy tổ \(1\) làm được trong tháng Giêng là \(x\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,x < 720} \right)\) (chi tiết máy)
Thì số chi tiết máy tổ \(2\) làm được trong tháng Giêng là: \(720 - x\) (chi tiết máy)
Vì tháng hai, tổ \(1\) vượt mức \(15\% \) nên số chi tiết máy vượt mức là: \(15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x\) (chi tiết máy)
Và tổ \(2\) vượt mức \(12\% \) nên số chi tiết máy vượt mức là \(12\% \left( {720 - x} \right) = \dfrac{{3\left( {720 - x} \right)}}{{25}}\) (chi tiết máy)
Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được \(819\) chi tiết máy nên vượt mức với tháng Giêng là: \(819 - 720 = 99\) (chi tiết máy).
Nên ta có phương trình: \(\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{3\left( {720 - x} \right)}}{{25}} = 99\)\( \Leftrightarrow 5.3x + 4.3\left( {720 - x} \right) = 99.100\) \( \Leftrightarrow 3x = 1260\, \Leftrightarrow x = 420\left( {TM} \right)\)
Vậy trong tháng Giêng tổ 2 làm được \(720-420=300\) chi tiết máy.
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh \(A\) và \(B\) cách nhau \(150km\), đi ngược chiều và gặp nhau sau \(2\) giờ. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô \(A\) tăng thêm \(15km/h\) thì bằng \(2\) lần vận tốc ô tô, vận tốc ô tô \(B\) là:
Gọi vận tốc xe \(A\) là \(x\left( {km/h,x > 0} \right)\).
Vận tốc ô tô \(B\) là: \(\dfrac{{x + 15}}{2}\left( {km/h} \right)\)
Quãng đường xe \(A\) đi được trong \(2\) giờ là \(2x\left( {km} \right)\).
Quãng đường xe \(B\) đi được trong \(2\) giờ là: \(2.\dfrac{{x + 15}}{2} = x + 15\left( {km} \right)\).
Do hai xe gặp nhau sau \(2\) giờ và quãng đường \(AB\) dài \(150km\) nên ta có phương trình:
\(2x + x + 15 = 150\) \( \Leftrightarrow 3x = 135 \Leftrightarrow x = 45\left( {TM} \right)\)
Vậy vận tốc xe \(B\) là: \(\dfrac{{45 + 15}}{2} = 30\left( {km/h} \right)\).
Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là \(10\). Nếu đổi chỗ hai chữ số này cho nhau thì ta thu được số mới nhỏ hơn số cũ là \(18\) đơn vị. Tổng các chữ số của số đã cho là:
Gọi số đã cho là: \(\overline {ab} \) (\(a,b \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\},a \ne 0\).
Tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục là: \(10\) nên \(b + 2a = 10\) hay \(b = 10 - 2a\).
Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số \(\overline {ba} \).
Số mới nhỏ hơn số cũ \(18\) đơn vị nên ta có:
\(\overline {ab} - \overline {ba} = 18\) \( \Leftrightarrow 10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18\) \( \Leftrightarrow 9a - 9b = 18\)
Thay \(b = 10 - 2a\) vào phương trình trên ta được:
\(9a - 9\left( {10 - 2a} \right) = 18\)
\( \Leftrightarrow 9a - 90 + 18a = 18\)
\( \Leftrightarrow 27a = 108 \Leftrightarrow a = 4\)
Suy ra \(b = 10 - 2.4 = 2\) nên \(a + b = 6\).
Số thứ nhất gấp $6$ lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là $x$ thì số thứ hai là:
Vì số thứ nhất gấp \(6\) lần số thứ hai nên số thứ hai bằng \(\dfrac{1}{6}\) lần số thứ nhất.
Vậy số thứ nhất là \(x\) thì số thứ hai là \(\dfrac{x}{6}\).
Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là \(x\) (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:
Vì xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h nên vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là $15$ km/h.
Do đó nếu vận tốc xe thứ hai là \(x\) (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là \(x + 15\,\)(km/h).
Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $3$ giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là:
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $3$ giờ nên thời gian xe thứ hai đi nhiều hơn xe thứ nhất \(3\) giờ.
Nếu thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là \(x + 3\) giờ.
