Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng mảnh vườn là $x$ $\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)$

Vì chiều dài hơn chiều rộng $5\,m$  nên chiều dài mảnh vườn là $x + 5\,$ (m).

Vì chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là $45\,m$ nên ta có phương trình:

$\left( {x + x + 5} \right).2 = 45$$\Leftrightarrow 2\left( {2x + 5} \right) = 45$.

Đổi: $30$  phút $= \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( h \right).$

Với quãng đường AB là $x$  (km), thời gian người đó đi hết quãng đường lúc đi là: $\dfrac{x}{{30}}\,\,\,\left( h \right);$ thời gian người đó đi quãng đường AB lúc về là: $\dfrac{x}{{24}}\,\,\left( h \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{x}{{24}} - \dfrac{x}{{30}} = \dfrac{1}{2}$

Gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là $x$ (ngày, $x > 30$).

Tổng số áo theo kế hoạch là $30x$ (áo)

Vì đội hoàn thành trước thời hạn $3$  ngày nên thời gian làm theo thực tế là $x - 3$ ngày.

Vì theo thực tế đội làm thêm được $20$ sản phẩm nên ta có phương trình

$40\left( {x - 3} \right) = 30x + 20$ $\Leftrightarrow 40\left( {x - 3} \right) - 20 = 30x$.

Gọi quãng đường $AB$  dài $x\,\,\left( {x > 0;\,km} \right)$.

Thời gian lúc đi là $\dfrac{x}{{25}}\,\left( h \right)$

Thời gian lúc về là $\dfrac{x}{{30}}\,\,\left( h \right)$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$phút $\left( { = \dfrac{1}{3}h} \right)$ nên ta có phương trình

$\dfrac{x}{{30}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{{25}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{5x + 50}}{{150}} = \dfrac{{6x}}{{25}} \Leftrightarrow 5x + 50 = 6x \Leftrightarrow x = 50\,\left( {TM} \right)$

Vậy quãng đường $AB$ dài $50\,km$.

Gọi vận tốc riêng của canô là $x\,\left( {x > 3} \right)$(km/h)

Vận tốc khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h)

Vận tốc khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h)

Đổi $1$ giờ $20$ phút$= \dfrac{4}{3}$ giờ. Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông $AB$ nên ta có phương trình

$\dfrac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x + 4 = 2x - 6$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x = 10 \Leftrightarrow x = 15\,\left( {TM} \right)$.

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$(km/h).

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $372:2 = 186\,\,\left( m \right).$

Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x\,\,\left( m \right),\,\,\,\,\left( {0 < x < 186} \right).$

$\Rightarrow$ Chiều rộng hình chữ nhật là: $186 - x\,\,\,\left( m \right).$

Diện tích hình chữ nhật là: $x\left( {186 - x} \right) = 186x - {x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).$

Tăng chiều dài lên 21m thì chiều dài mới là: $x + 21\,\,\,\left( m \right).$

Tăng chiều rộng lên 10m thì chiều rộng mới là: $186 - x + 10 = 196 - x\,\,\,\left( m \right).$ 

Diện tích hình chữ nhật mới là: $\left( {x + 21} \right)\left( {196 - x} \right) = 175x - {x^2} + 4116\,\,\,\left( {{m^2}} \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $186x - {x^2} + 2862 = 175x - {x^2} + 4116$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 11x = 1254\\ \Leftrightarrow x = 114\,\,\,\left( {TM} \right).\end{array}$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là $114m$.

Gọi x là tuổi của Phương năm nay. Điều kiện: x nguyên dương.

Tuổi của mẹ năm nay là $3x$  (tuổi).

$13$  năm nữa tuổi của Phương là: $x + 13$ (tuổi)

$13$ năm nữa tuổi của mẹ Phương là: $3x + 13$ ( tuổi).

$13$  năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow 3x + 13 = 2x + 26\\ \Leftrightarrow x = 13(tm)\end{array}$

Vậy Phương năm nay $13$ tuổi.

Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là $x\,\left( {x > 6} \right)$(km/h)

Thời gian theo dự định của ô tô là $\dfrac{{60}}{x}\left( h \right)$

Nửa đầu quãng đường ô tô đi với vận tốc là $x + 10$ (km/h)

Thời gian đi nửa đầu quãng đường là $\dfrac{{30}}{{x + 10}}\,\left( h \right)$

Nửa sau quãng đường, ô tô đi với vận tốc là $x - 6\,$ (km/h)

Thời gian ô tô đi nửa sau quãng đường là $\dfrac{{30}}{{x - 6}}\,\left( h \right)$

Vì ô tô đến nơi đúng dự định nên ta có phương trình

$\dfrac{{30}}{{x + 10}} + \dfrac{{30}}{{x - 6}} = \dfrac{{60}}{x}$$\Leftrightarrow \dfrac{{30x\left( {x - 6} \right) + 30x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}} = \dfrac{{60\left( {x - 6} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}}$

$\Rightarrow {x^2} - 6x + {x^2} + 10x = 2\left( {{x^2} + 4x - 60} \right)$$\Leftrightarrow 4x = 120\, \Leftrightarrow x = 30\,\left( {TM} \right)$

Vậy thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là $60:30 = 2$ giờ.

Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch là $\dfrac{x}{{50}}$ (ngày)

Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là $x + 13$(sản phẩm)

Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình

$\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x$

$\Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)$

Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là $500$ sản phẩm.

Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là $x$  (giờ), điều kiện:$x > \dfrac{{22}}{3}$ .

Biểu thị công việc bằng $1$  ta có:

Năng suất của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là $\dfrac{1}{{24}}$ (công việc/giờ) và $\dfrac{1}{x}$ (công việc/giờ).

Năng suất làm chung của hai người là $\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}$ (công việc/giờ)

Khối lượng công việc người thứ nhất làm một mình trong $\dfrac{{26}}{3}$ giờ  là $\dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{26}}{3} = \dfrac{{13}}{{36}}$ (công việc)

Khối lượng công việc hai người làm chung trong $\dfrac{{22}}{3}$ giờ  là $\dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right)$ (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình:

 $\dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \Leftrightarrow x = 22\,\left( {TM} \right)$

Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong $22$  giờ thì xong công việc.

Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành cày ruộng theo kế hoạch là $x$ (ngày, $x > 0$ ).

Đội hoàn thành diện tích ruộng theo kế hoạch là: $40x$ (ha).

Thời gian thực tế đội hoàn thành diện tích ruộng là: $x - 2$ (ngày).

Đội hoàn thành diện tích ruộng theo thực tế là: $52(x - 2)$ (ha).

Vì tổ vượt mức $4$ ha nên ta có phương trình:

$52\left( {x - 2} \right) = 40x + 4 \Leftrightarrow 12x = 108$ $\Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích ruộng cần cày theo dự định là $9.40 = 360\,$ ha.

Gọi số áo tổ $1$ làm được trong tháng Giêng là $x\,\left( {x \in \mathbb{N}*;\,x < 800} \right)$(áo)

Thì số áo tổ $2$ làm được trong tháng Giêng là $800 - x$ (áo)

Vì tháng hai, tổ $1$ vượt mức $15\%$ nên số áo vượt mức là $15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x$ (áo)

Và tổ $2$ vượt mức $20\%$ nên số áo vượt mức là $20\% \left( {800 - x} \right) = \dfrac{{800 - x}}{5}$ (áo)

Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo nên vượt mức với tháng Giêng là $945 - 800 = 145$ áo

Nên ta có phương trình $\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{800 - x}}{5} = 145 \Leftrightarrow 3x + 3200 - 4x = 2900 \Leftrightarrow x = 300\,\left( {TM} \right)$ .

Vậy trong tháng Giêng tổ một làm được $300$ áo.

Gọi thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp nhau là $x\,\left( {x > 1} \right)$ (giờ)

Thì thời gian người thứ hai đi đến khi gặp nhau là $x - 1$ (giờ)

Vì quãng đường hai người đi là bằng nhau nên ta có phương trình

$30x = 45\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 15x = 45 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)$

Vậy người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất lúc $7 + 3 = 10$ giờ.

Gọi số phải tìm $\overline {abcd}$ là $x$ . Điều kiện: $x \in N;1000 \le x \le 9999$.

Viết thêm chữ số 1 vào đằng trước ta được

$A = \overline {1abcd}  = 10000 + \overline {abcd}  = 10000 + x$

Viết thêm chữ số 4 vào đằng sau ta được.

$B = \overline {abcd4}  = 10.\overline {abcd}  + 4 = 10x + 4$

Theo đề bài $B = 4A$ nên có Phương trình

  $10x + 4 = 4\left( {10000 + x} \right)$

Giải phương trình

   $10x + 4 = 40000 + 4x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10x - 4x = 40000 - 4\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6x = 39996\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 6666\end{array}$

Giá trị $x = 6666$ thỏa mãn các điều kiện nêu trên. Số phải tìm là $6666$ .