Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là \(45\,m\) . Biết chiều dài hơn chiều rộng \(5\,m\) . Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là \(x\) \(\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)\) thì Phương trình của bài toán là
Gọi chiều rộng mảnh vườn là \(x\) \(\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)\)
Vì chiều dài hơn chiều rộng \(5\,m\) nên chiều dài mảnh vườn là \(x + 5\,\) (m).
Vì chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là \(45\,m\) nên ta có phương trình:
\(\left( {x + x + 5} \right).2 = 45 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {2x + 5} \right) = 45\).
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ , với vận tốc $30$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $24$ km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là $30$ phút. Hãy chọn câu đúng: Nếu gọi quãng đường $AB$ là \(x\) (km,\(x > 0\)) thì phương trình của bài toán là:
Đổi: $30$ phút \( = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( h \right).\)
Với quãng đường AB là $x$ (km), thời gian người đó đi hết quãng đường lúc đi là: \(\dfrac{x}{{30}}\,\,\,\left( h \right);\) thời gian người đó đi quãng đường AB lúc về là: \(\dfrac{x}{{24}}\,\,\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{x}{{24}} - \dfrac{x}{{30}} = \dfrac{1}{2}\)
Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt $30$ áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được $40$ áo nên đã hoàn thành trước thời hạn $3$ ngày, ngoài ra còn làm thêm được $20$ chiếc áo nữa. Hãy chọn câu đúng. Nếu gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là \(x\) (ngày, \(x > 30\)). Thì phương trình của bài toán là:
Gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là \(x\) (ngày, \(x > 30\)).
Tổng số áo theo kế hoạch là \(30x\) (áo)
Vì đội hoàn thành trước thời hạn $3$ ngày nên thời gian làm theo thực tế là \(x - 3\) ngày.
Vì theo thực tế đội làm thêm được \(20\) sản phẩm nên ta có phương trình
\(40\left( {x - 3} \right) = 30x + 20\) \( \Leftrightarrow 40\left( {x - 3} \right) - 20 = 30x\).
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $25$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $30$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$ phút. Tính quãng đường $AB$ ?
Gọi quãng đường \(AB\) dài \(x\,\,\left( {x > 0;\,km} \right)\).
Thời gian lúc đi là \(\dfrac{x}{{25}}\,\left( h \right)\)
Thời gian lúc về là \(\dfrac{x}{{30}}\,\,\left( h \right)\)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là \(20\)phút \(\left( { = \dfrac{1}{3}h} \right)\) nên ta có phương trình
\(\dfrac{x}{{30}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{{25}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5x + 50}}{{150}} = \dfrac{{6x}}{{25}} \Leftrightarrow 5x + 50 = 6x \Leftrightarrow x = 50\,\left( {TM} \right)\)
Vậy quãng đường \(AB\) dài \(50\,km\).
Một ca nô xuôi dòng từ $A$ đến $B$ hết $1\,{\rm{h}}\,20$ phút và ngược dòng hết $2h$. Biết vận tốc dòng nước là $3$ km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?
Gọi vận tốc riêng của canô là \(x\,\left( {x > 3} \right)\)(km/h)
Vận tốc khi xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h)
Vận tốc khi ngược dòng là \(x - 3\) (km/h)
Đổi \(1\) giờ \(20\) phút\( = \dfrac{4}{3}\) giờ. Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông $AB$ nên ta có phương trình
\(\dfrac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x + 4 = 2x - 6\) \( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x = 10 \Leftrightarrow x = 15\,\left( {TM} \right)\).
Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(15\)(km/h).
Một hình chữ nhật có chu vi $372m$ nếu tăng chiều dài $21m$ và tăng chiều rộng $10m$ thì diện tích tăng $2862{m^2}$. Chiều dài của hình chữ nhật là:
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(372:2 = 186\,\,\left( m \right).\)
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\,\left( {0 < x < 186} \right).\)
\( \Rightarrow \) Chiều rộng hình chữ nhật là: \(186 - x\,\,\,\left( m \right).\)
Diện tích hình chữ nhật là: \(x\left( {186 - x} \right) = 186x - {x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Tăng chiều dài lên 21m thì chiều dài mới là: \(x + 21\,\,\,\left( m \right).\)
Tăng chiều rộng lên 10m thì chiều rộng mới là: \(186 - x + 10 = 196 - x\,\,\,\left( m \right).\)
Diện tích hình chữ nhật mới là: \(\left( {x + 21} \right)\left( {196 - x} \right) = 175x - {x^2} + 4116\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(186x - {x^2} + 2862 = 175x - {x^2} + 4116\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 11x = 1254\\ \Leftrightarrow x = 114\,\,\,\left( {TM} \right).\end{array}\)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là $114m$.
Năm nay tuổi mẹ gấp $3$ lần tuổi Phương. Phương tính rằng $13$ năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp $2$ lần tuổi Phương. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi.
Gọi x là tuổi của Phương năm nay. Điều kiện: x nguyên dương.
Tuổi của mẹ năm nay là $3x$ (tuổi).
$13$ năm nữa tuổi của Phương là: \(x + 13\) (tuổi)
$13$ năm nữa tuổi của mẹ Phương là: \(3x + 13\) ( tuổi).
$13$ năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow 3x + 13 = 2x + 26\\ \Leftrightarrow x = 13(tm)\end{array}\)
Vậy Phương năm nay $13$ tuổi.
Một ô tô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định $10$ km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định $6$ km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường $AB$ ?
Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là \(x\,\left( {x > 6} \right)\)(km/h)
Thời gian theo dự định của ô tô là \(\dfrac{{60}}{x}\left( h \right)\)
Nửa đầu quãng đường ô tô đi với vận tốc là \(x + 10\) (km/h)
Thời gian đi nửa đầu quãng đường là \(\dfrac{{30}}{{x + 10}}\,\left( h \right)\)
Nửa sau quãng đường, ô tô đi với vận tốc là \(x - 6\,\) (km/h)
Thời gian ô tô đi nửa sau quãng đường là \(\dfrac{{30}}{{x - 6}}\,\left( h \right)\)
Vì ô tô đến nơi đúng dự định nên ta có phương trình
\(\dfrac{{30}}{{x + 10}} + \dfrac{{30}}{{x - 6}} = \dfrac{{60}}{x}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{30x\left( {x - 6} \right) + 30x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}} = \dfrac{{60\left( {x - 6} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}}\)
\( \Rightarrow {x^2} - 6x + {x^2} + 10x = 2\left( {{x^2} + 4x - 60} \right)\)\( \Leftrightarrow 4x = 120\, \Leftrightarrow x = 30\,\left( {TM} \right)\)
Vậy thời gian dự định đi quãng đường \(AB\) là \(60:30 = 2\) giờ.
Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\,\left( {x > 0} \right)\) (sản phẩm)
Thời gian theo kế hoạch là \(\dfrac{x}{{50}}\) (ngày)
Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là \(x + 13\)(sản phẩm)
Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch \(1\) ngày nên ta có phương trình
\(\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x\)
\( \Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)\)
Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là \(500\) sản phẩm.
Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong 24 giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \(\dfrac{{26}}{3}\) giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.
Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là $x$ (giờ), điều kiện:\(x > \dfrac{{22}}{3}\) .
Biểu thị công việc bằng $1$ ta có:
Năng suất của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(\dfrac{1}{{24}}\) (công việc/giờ) và \(\dfrac{1}{x}\) (công việc/giờ).
Năng suất làm chung của hai người là \(\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}\) (công việc/giờ)
Khối lượng công việc người thứ nhất làm một mình trong $\dfrac{{26}}{3}$ giờ là \(\dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{26}}{3} = \dfrac{{13}}{{36}}\) (công việc)
Khối lượng công việc hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) giờ là \(\dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right)\) (công việc)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \Leftrightarrow x = 22\,\left( {TM} \right)\)
Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong $22$ giờ thì xong công việc.
Một đội máy cày dự định cày $40$ ha ruộng $1$ ngày. Do sự cố gắng, đội đã cày được $52$ ha mỗi ngày. Vì vậy, chẳng những đội đã hoàn thành sớm hơn $2$ ngày mà còn cày vượt mức được $4$ ha nữa. Tính diện tích ruộng đội phải cày theo dự định.
Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành cày ruộng theo kế hoạch là \(x\) (ngày, $x > 0$ ).
Đội hoàn thành diện tích ruộng theo kế hoạch là: \(40x\) (ha).
Thời gian thực tế đội hoàn thành diện tích ruộng là: \(x - 2\) (ngày).
Đội hoàn thành diện tích ruộng theo thực tế là: \(52(x - 2)\) (ha).
Vì tổ vượt mức \(4\) ha nên ta có phương trình:
\(52\left( {x - 2} \right) = 40x + 4 \Leftrightarrow 12x = 108\) \( \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn)
Vậy diện tích ruộng cần cày theo dự định là \(9.40 = 360\,\) ha.
Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được $800$ chiếc áo. Tháng Hai, tổ $1$ vượt mức $15\% $ , tổ hai vượt mức $20\% $ do đó cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo. Tính xem trong tháng đầu, tổ \(1\) may được bao nhiêu chiếc áo?
Gọi số áo tổ \(1\) làm được trong tháng Giêng là \(x\,\left( {x \in \mathbb{N}*;\,x < 800} \right)\)(áo)
Thì số áo tổ \(2\) làm được trong tháng Giêng là \(800 - x\) (áo)
Vì tháng hai, tổ \(1\) vượt mức $15\% $ nên số áo vượt mức là \(15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x\) (áo)
Và tổ \(2\) vượt mức \(20\% \) nên số áo vượt mức là \(20\% \left( {800 - x} \right) = \dfrac{{800 - x}}{5}\) (áo)
Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo nên vượt mức với tháng Giêng là \(945 - 800 = 145\) áo
Nên ta có phương trình \(\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{800 - x}}{5} = 145 \Leftrightarrow 3x + 3200 - 4x = 2900 \Leftrightarrow x = 300\,\left( {TM} \right)\) .
Vậy trong tháng Giêng tổ một làm được \(300\) áo.
Lúc $7$ giờ một người đi xe máy khởi hành từ $A$ với vận tốc $30$ km/h. Sau đó một giờ, người thứ hai cũng đi xe máy từ $A$ đuổi theo với vận tốc $45$ km/h. Hỏi đến mấy giờ người thứ hai mới đuổi kịp người thứ nhất?
Gọi thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp nhau là \(x\,\left( {x > 1} \right)\) (giờ)
Thì thời gian người thứ hai đi đến khi gặp nhau là \(x - 1\) (giờ)
Vì quãng đường hai người đi là bằng nhau nên ta có phương trình
\(30x = 45\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 15x = 45 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)\)
Vậy người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất lúc \(7 + 3 = 10\) giờ.
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số $1$ vào đằng trước ta được số $A$ có năm chữ số, nếu viết them chữ số $4$ vào đằng sau ta được số $B$ có năm chữ số, trong đó $B$ gấp bốn lần $A$ .
Gọi số phải tìm $\overline {abcd} $ là $x$ . Điều kiện: $x \in N;1000 \le x \le 9999$.
Viết thêm chữ số 1 vào đằng trước ta được
$A = \overline {1abcd} = 10000 + \overline {abcd} = 10000 + x$
Viết thêm chữ số 4 vào đằng sau ta được.
$B = \overline {abcd4} = 10.\overline {abcd} + 4 = 10x + 4$
Theo đề bài $B = 4A$ nên có Phương trình
$10x + 4 = 4\left( {10000 + x} \right)$
Giải phương trình
$10x + 4 = 40000 + 4x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10x - 4x = 40000 - 4\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6x = 39996\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 6666\end{array}$
Giá trị $x = 6666$ thỏa mãn các điều kiện nêu trên. Số phải tìm là $6666$ .
