Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Vì xe thức hai chở gấp đôi xe thứ nhất nên số tấn hàng của xe hai là $2x$ (tấn).

Mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy $20km$ nghĩa là vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy $20km/h$.

Khi đó vận tốc ô tô là $x + 20\left( {km/h} \right)$.

Tàu thủy đến chậm hơn ca nô $3$ giờ hay thời gian đi của tàu thủy nhiều hơn ca nô là $3$ giờ, nghĩa là ca nô đi với thời gian ít hơn tàu thủy $3$ giờ.

Thời gian đi của tàu thủy là $x - 3\left( h \right)$. 

Vì chiều dài hơn chiều rộng $3cm$ nên chiều rộng là $x - 3\left( {cm} \right)$.

Vì diện tích hình chữ nhật là $4c{m^2}$ nên ta có phương trình: $x\left( {x - 3} \right) = 4$.

Đổi: $30$ phút $= \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\left( h \right).$

Với thời gian lúc đi là $x$ (giờ), quãng đường $AB$ dài là: $30x\left( {km} \right)$

Thời gian người đó đi quãng đường $AB$ lúc về là: $\dfrac{{30x}}{{24}}\,\left( h \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{{30x}}{{24}} - x = \dfrac{1}{2}$.

Gọi số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là: $x$ (sản phẩm, $x > 0, x \in \mathbb{N}$).

Thời gian dự kiến xong là: $\dfrac{x}{{30}}$ (ngày)

Vì theo thực tế đội làm được thêm $20$ sản phẩm nên số sản phẩm thực tế làm được là: $x + 20$ (sản phẩm).

Thời gian làm thực tế là: $\dfrac{{x + 20}}{{40}}$ (ngày)

Vì đội hoàn thành trước thời hạn $3$ ngày nên ta có phương trình $\dfrac{x}{{30}} - \dfrac{{x + 20}}{{40}} = 3$.

Đổi: $30$ phút $= \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\left( h \right).$

Gọi thời gian lúc đi là $x$ (giờ), quãng đường $AB$ dài là: $30x\left( {km} \right)$

Thời gian người đó đi quãng đường $AB$ lúc về là: $\dfrac{{30x}}{{24}}\,\,\left( h \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{{30x}}{{24}} - x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{30x}}{{24}} - \dfrac{{24x}}{{24}} = \dfrac{{12}}{{24}}$ $\Leftrightarrow 30x - 24x = 12$ $\Leftrightarrow 6x = 12 \Leftrightarrow x = 2$ (giờ).

Gọi vận tốc riêng của canô là $x\,\left( {x > 3} \right)$ (km/h)

Vận tốc khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h)

Vận tốc khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h)

Đổi $1$ giờ $24$ phút$= \dfrac{7}{5}$ giờ. Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông $AB$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{7}{5}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)$$\Leftrightarrow \dfrac{7}{5}x + \dfrac{{21}}{5} = 2x - 6$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{3}{5}x =  - \dfrac{{51}}{5} \Leftrightarrow x = 17\left( {TM} \right)$.

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $17$ (km/h).

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $56:2 = 28\left( m \right).$

Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x\left( m \right),\,\left( {0 < x < 28} \right).$

$\Rightarrow$ Chiều rộng hình chữ nhật là: $28 - x\left( m \right).$

Diện tích hình chữ nhật là: $x\left( {28 - x} \right) = 28x - {x^2}\left( {{m^2}} \right).$

Tăng chiều dài lên $4m$ thì chiều dài mới là: $x + 4\,\left( m \right).$

Giảm chiều rộng $2m$ thì chiều rộng mới là: $28 - x - 2 = 26 - x\left( m \right).$ 

Diện tích hình chữ nhật mới là: $\left( {x + 4} \right)\left( {26 - x} \right) = 104 + 22x - {x^2}\left( {{m^2}} \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $28x - {x^2} + 8 = 104 + 22x - {x^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6x = 96\\ \Leftrightarrow x = 16\,\left( {TM} \right).\end{array}$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là $16$ m.

Giả sử hình chữ nhật là $ABCD$ có chiều dài $AB = x\left( {cm} \right)$,$\left( {x > 2} \right)$.

Chiều rộng $BC$ là: $x - 2$ $\left( {cm} \right)$.

Độ dài đường chéo $AC = 10cm$, theo định lí Pitago ta có:

${x^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = {10^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 4x + 4 = 100$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 96 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 8} \right)\left( {x + 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 8 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\left( {TM} \right)\\x =  - 6\left( {loai} \right)\end{array} \right.$

Do đó chiều dài hình chữ nhật là: $8\left( {cm} \right)$ và chiều rộng là $8.6 = 48\left( {c{m^2}} \right)$.

Đổi $15$ phút $= \dfrac{1}{4}$ giờ.

Gọi $C$ và $D$ là nơi ô tô gặp xe máy lần thứ nhất và thứ hai.

Gọi quãng đường $CD$ là: $x\left( {km} \right)$.

Quang đường $AC$ dài $40.\dfrac{1}{4} = 10\left( {km} \right)$.

Thời gian người đi xe máy từ $C$ đến $D$ là: $\dfrac{x}{{40}}$ giờ.

Trong thời gian đó, ô tô đi đoạn đường $CA,AD$ và nghỉ $15$ phút.

Ta có phương trình: $\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{{10 + 10 + x}}{{50}} + \dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{5x}}{{200}} = \dfrac{{4\left( {20 + x} \right)}}{{200}} + \dfrac{{50}}{{200}}$

$\Leftrightarrow 5x = 80 + 4x + 50$

$\Leftrightarrow x = 130\left( {TM} \right)$

Quãng đường $AB$ dài là: $10 + 130 + 20 = 160\left( {km} \right)$.

Gọi số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là: $x$ (sản phẩm, $x > 0,x \in \mathbb{N}$).

Thời gian dự kiến xong là: $\dfrac{x}{{30}}$ (ngày)

Vì theo thực tế đội làm được thêm $20$ sản phẩm nên số sản phẩm thực tế làm được là: $x + 20$ (sản phẩm).

Thời gian làm thực tế là: $\dfrac{{x + 20}}{{40}}$ (ngày)

Vì đội hoàn thành trước thời hạn $3$ ngày nên ta có phương trình: $\dfrac{x}{{30}} - \dfrac{{x + 20}}{{40}} = 3$.

$\Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{120}} - \dfrac{{3\left( {x + 20} \right)}}{{120}} = \dfrac{{3.120}}{{120}}$ $\Leftrightarrow 4x - 3x - 60 = 360$ $\Leftrightarrow x = 420\left( {TM} \right)$

Số sản phẩm theo dự kiến là: $420$ (sản phẩm).

Số sản phẩm làm được thực tế là: $420 + 20 = 440$ (sản phẩm).

Đổi $3$ giờ $20$ phút $= \dfrac{{10}}{3}$ giờ.

Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là $x$  (giờ), điều kiện:$x > \dfrac{{10}}{3}$.

Coi bể đầy bằng $1$ ta có:

Một giờ hai vòi chảy được $1:\dfrac{{10}}{3} = \dfrac{3}{{10}}$ (bể).

Một giờ vòi $1$ chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể).

Một giờ vòi $2$ chảy được $\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}$ (bể).

Trong $3$ giờ vòi $1$ chảy được $3.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x}$ (bể)

Trong $2$ giờ vòi $2$ chảy được $2.\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right)$ (bể)

Vòi $1$ chảy trong $3$ giờ và vòi $2$ chảy trong $2$ giờ được: $\dfrac{3}{x} + 2\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right)$

Theo bài ra ta có phương trình:

$\dfrac{3}{x} + 2\left( {\dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = 5$

Vậy nếu chảy một mình thì vòi $1$ chảy trong $5$ giờ đầy bể.

Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành khai thác theo kế hoạch là: $x$ (ngày, $x > 1$).

Thời gian đội hoàn thành khai thác theo thực tế là: $x - 1$ (ngày).

Lượng than đội dự kiến khai thác là: $50x$ (${m^3}$).

Lượng than đội khai thác thực tế là: $57(x - 1)$ (${m^3}$).

Vì đội vượt mức $13{m^3}$ nên ta có phương trình:

$57\left( {x - 1} \right) = 50x + 13$ $\Leftrightarrow 7x = 70 \Leftrightarrow x = 10$ (thỏa mãn)

Vậy lượng than dự định khai thác là: $10.50 = 500\left( {{m^3}} \right)$.

Gọi số chi tiết máy tổ $1$ làm được trong tháng Giêng là $x\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,x < 720} \right)$ (chi tiết máy)

Thì số chi tiết máy tổ $2$ làm được trong tháng Giêng là: $720 - x$ (chi tiết máy)

Vì tháng hai, tổ $1$ vượt mức $15\%$ nên số chi tiết máy vượt mức là: $15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x$ (chi tiết máy)

Và tổ $2$ vượt mức $12\%$ nên số chi tiết máy vượt mức là $12\% \left( {720 - x} \right) = \dfrac{{3\left( {720 - x} \right)}}{{25}}$ (chi tiết máy)

Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được $819$ chi tiết máy nên vượt mức với tháng Giêng là: $819 - 720 = 99$ (chi tiết máy).

Nên ta có phương trình: $\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{3\left( {720 - x} \right)}}{{25}} = 99$$\Leftrightarrow 5.3x + 4.3\left( {720 - x} \right) = 99.100$ $\Leftrightarrow 3x = 1260\, \Leftrightarrow x = 420\left( {TM} \right)$

Vậy trong tháng Giêng tổ 2 làm được $720-420=300$ chi tiết máy.

Gọi vận tốc xe $A$ là $x\left( {km/h,x > 0} \right)$.

Vận tốc ô tô $B$ là: $\dfrac{{x + 15}}{2}\left( {km/h} \right)$

Quãng đường xe $A$ đi được trong $2$ giờ là $2x\left( {km} \right)$.

Quãng đường xe $B$ đi được trong $2$ giờ là: $2.\dfrac{{x + 15}}{2} = x + 15\left( {km} \right)$.

Do hai xe gặp nhau sau $2$ giờ và quãng đường $AB$ dài $150km$ nên ta có phương trình:

$2x + x + 15 = 150$ $\Leftrightarrow 3x = 135 \Leftrightarrow x = 45\left( {TM} \right)$

Vậy vận tốc xe $B$ là: $\dfrac{{45 + 15}}{2} = 30\left( {km/h} \right)$.

Gọi số đã cho là: $\overline {ab}$ ($a,b \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\},a \ne 0$.

Tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục là: $10$ nên $b + 2a = 10$ hay $b = 10 - 2a$.

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số $\overline {ba}$.

Số mới nhỏ hơn số cũ $18$ đơn vị nên ta có:

$\overline {ab}  - \overline {ba}  = 18$ $\Leftrightarrow 10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18$ $\Leftrightarrow 9a - 9b = 18$

Thay $b = 10 - 2a$ vào phương trình trên ta được:

$9a - 9\left( {10 - 2a} \right) = 18$

$\Leftrightarrow 9a - 90 + 18a = 18$

$\Leftrightarrow 27a = 108 \Leftrightarrow a = 4$

Suy ra $b = 10 - 2.4 = 2$ nên $a + b = 6$.

Vì số thứ nhất gấp $6$  lần số thứ hai nên số thứ hai bằng $\dfrac{1}{6}$ lần số thứ nhất.

Vậy số thứ nhất là $x$ thì số thứ hai là $\dfrac{x}{6}$.

Vì xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h nên vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là $15$ km/h.

Do đó nếu vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là $x + 15\,$(km/h).

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc,  xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $3$ giờ nên thời gian xe thứ hai đi nhiều hơn xe thứ nhất $3$ giờ. 

Nếu thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là $x + 3$ giờ.