Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Vì \(m > n\) “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \( - 3\)” ta được: \(m - 3 > n - 3\).

+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được: \(a - 1 < b - 1 \Rightarrow \) (I) đúng.

+ Vì \(a - 1 < b - 1\,\left( {cmt} \right)\) mà \(b - 1 < b\) nên \(a - 1 < b\) \( \Rightarrow \) (II) đúng

+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \(1\) ta được: \(a + 1 < b + 1\) mà \(a + 1 < a + 2\) nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng \(a + 2 < b + 1 \Rightarrow \) (III) sai.

Do đó có \(2\) khẳng định đúng.

+ Vì \( - 5 < 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \( - 2a\) bất kì ta được: \( - 2a - 5 <  - 2a + 1 \Rightarrow \) A đúng.

+ Vì \(0 < 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(4a\) bất kì ta được: \(4a < 4a + 1\) \( \Rightarrow \) C đúng.

+ Vì \(1 >  - 2\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \( - 5a\) bất kì ta được: \( - 5a + 1 >  - 5a - 2 \Rightarrow \) D sai.

+ Vì \( - 3 <  - 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(3a\) bất kì ta được: \(3a - 3 < 3a - 1 \Rightarrow \) B đúng.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(x-5 \le y-5\) với \( 5\) ta được:

\(x-5 +5\le y-5+5 \Rightarrow  x \le  y\)

Từ \(a > b\), cộng \( - b\) vào hai vế ta được \(a - b > b - b,\) tức là \(a - b > 0\).

Do đó D đúng, B sai.

Ngoài ra A, C đúng vì:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(a > 1\) với \(\left( { - 1} \right)\) ta được: \(a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)\) hay \(a - 1 > 0\).

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(1 > b\) với \( - b\) ta được: \(1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)\) hay \(1 - b > 0\).

Ta có: \(m + \dfrac{1}{2} = n\) \( \Rightarrow m - n =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow m - n < 0 \Rightarrow m < n\).

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(a - 3 < b\) với \(13\) ta được:

\(a - 3 < b\) \( \Rightarrow a - 3 + 13 < b + 13\) \( \Rightarrow a + 10 < b + 13\).

Từ \(a = b - 1\) suy ra \(b = a + 1\)

Từ \(a = c-3\) suy ra \(c = a + 3\).

Mà \(a < a + 1 < a + 3\) nên  \(a < b < c\).

\(P = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 2xy\) \( = {x^2} + {y^2} \ge 0,\forall x,y\)

Do đó \(P \ge 0;\,\forall x;y\). Suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 2xy\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = 0\).

Xét hiệu:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

(vì \({(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\))

Nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\).

* \({a^2} + 3 + 2a\)\( = {a^2} + 2a + 1 + 2\) \( = {(a + 1)^2} + 2 > 0\) (luôn đúng) nên \({a^2} + 3 >  - 2a\) nên A đúng.

* \({a^2} + 8 - 4a - 4\) \( = {a^2} - 4a + 4 = {\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng) nên \({a^2} + 8 \ge 4a + 4\) hay \(4a + 4 \le {a^2} + 8\) nên B đúng.

* \({a^2} + 1 - a\)\( = {a^2} - 2a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\) \( = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\) (luôn đúng) nên \({a^2} + 1 > a\) hay C sai.

* Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} \ge ab - {b^2} \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a.\dfrac{b}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\end{array}\)

Vì \({\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\)(luôn đúng) nên \({a^2} \ge ab - {b^2}\) hay D đúng.

Vì \( - 3 >  - 4\)  “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $m$ bất kỳ ” ta được  \(m - 3 > m - 4\).

+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được \(a - 1 < b - 1 \Rightarrow \) (I) đúng.

+ Vì \(a - 1 < b - 1\,\left( {cmt} \right)\) mà \(b - 1 < b\) nên \(a - 1 < b\)\( \Rightarrow \) (II) đúng

+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \(1\) ta được \(a + 1 < b + 1\) mà \(a + 1 < a + 2\) nên ta chưa đủ dữ  kiện để nói rằng \(a + 2 < b + 1 \Rightarrow \) (III) sai.

Vậy có $1$ khẳng định sai.

+ Vì \( - 5 < 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(2a\) bất kì ta được \(2a - 5 < 2a + 1 \Rightarrow \) A đúng.

+ Vì \(0 < 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(4a\) bất kì ta được \(4a < 4a + 1\)\( \Rightarrow \)  C đúng.

+ Vì \(1 >  - 2\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(5a\) bất kì ta được \(5a + 1 < 5a - 2 \Rightarrow \) D đúng.

+ Vì \( - 3 <  - 1\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(3a\) bất kì ta được \(3a - 3 < 3a - 1 \Rightarrow \) B sai.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(x - 3 \le y - 3\)với \(3\) ta được:

\(x - 3 \le y - 3 \Rightarrow x - 3 + 3 \le y - 3 + 3 \Rightarrow x \le y.\)

Từ \(a > b\), cộng \( - b\) vào hai vế ta được \(a - b > b - b,\) tức là \(a - b > 0\).

Ta có: \(m - \dfrac{1}{2} = n \Rightarrow m - n = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m - n > 0 \Rightarrow m > n\) .

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 8 < b\) với $\left( { - 15} \right)$ ta được

\(a + 8 < b \Rightarrow a + 8 - 15 < b - 15 \Rightarrow a - 7 < b - 15\)

Từ $a-1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$ .

Từ $b + 2 = c-3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$ .

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên  $b < a < c$ .

Xét hiệu:

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - {(a + b + c)^2}$

$\begin{array}{l} = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\end{array}$

(vì ${(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0$ với mọi \(a,b,c\))

Nên $3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}$ .