Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Vì $m > n$ “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $- 3$” ta được: $m - 3 > n - 3$.

+ Vì $a < b$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được: $a - 1 < b - 1 \Rightarrow$ (I) đúng.

+ Vì $a - 1 < b - 1\,\left( {cmt} \right)$ mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ $\Rightarrow$ (II) đúng

+ Vì $a < b$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $1$ ta được: $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng $a + 2 < b + 1 \Rightarrow$ (III) sai.

Do đó có $2$ khẳng định đúng.

+ Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $- 2a$ bất kì ta được: $- 2a - 5 <  - 2a + 1 \Rightarrow$ A đúng.

+ Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được: $4a < 4a + 1$ $\Rightarrow$ C đúng.

+ Vì $1 >  - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $- 5a$ bất kì ta được: $- 5a + 1 >  - 5a - 2 \Rightarrow$ D sai.

+ Vì $- 3 <  - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được: $3a - 3 < 3a - 1 \Rightarrow$ B đúng.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $x-5 \le y-5$ với $5$ ta được:

$x-5 +5\le y-5+5 \Rightarrow  x \le  y$

Từ $a > b$, cộng $- b$ vào hai vế ta được $a - b > b - b,$ tức là $a - b > 0$.

Do đó D đúng, B sai.

Ngoài ra A, C đúng vì:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a > 1$ với $\left( { - 1} \right)$ ta được: $a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)$ hay $a - 1 > 0$.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $1 > b$ với $- b$ ta được: $1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)$ hay $1 - b > 0$.

Ta có: $m + \dfrac{1}{2} = n$ $\Rightarrow m - n =  - \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow m - n < 0 \Rightarrow m < n$.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a - 3 < b$ với $13$ ta được:

$a - 3 < b$ $\Rightarrow a - 3 + 13 < b + 13$ $\Rightarrow a + 10 < b + 13$.

Từ $a = b - 1$ suy ra $b = a + 1$

Từ $a = c-3$ suy ra $c = a + 3$.

Mà $a < a + 1 < a + 3$ nên  $a < b < c$.

$P = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 2xy$ $= {x^2} + {y^2} \ge 0,\forall x,y$

Do đó $P \ge 0;\,\forall x;y$. Suy ra ${\left( {x + y} \right)^2} \ge 2xy$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = 0$.

Xét hiệu:

${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca$ $= \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0$

(vì ${(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$)

Nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$.

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c$.

* ${a^2} + 3 + 2a$$= {a^2} + 2a + 1 + 2$ $= {(a + 1)^2} + 2 > 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 3 >  - 2a$ nên A đúng.

* ${a^2} + 8 - 4a - 4$ $= {a^2} - 4a + 4 = {\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 8 \ge 4a + 4$ hay $4a + 4 \le {a^2} + 8$ nên B đúng.

* ${a^2} + 1 - a$$= {a^2} - 2a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}$ $= {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 1 > a$ hay C sai.

* Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} \ge ab - {b^2} \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a.\dfrac{b}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\end{array}$

Vì ${\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0$(luôn đúng) nên ${a^2} \ge ab - {b^2}$ hay D đúng.

Vì $- 3 >  - 4$  “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $m$ bất kỳ ” ta được  $m - 3 > m - 4$.

+ Vì $a < b$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1 \Rightarrow$ (I) đúng.

+ Vì $a - 1 < b - 1\,\left( {cmt} \right)$ mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$$\Rightarrow$ (II) đúng

+ Vì $a < b$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $1$ ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên ta chưa đủ dữ  kiện để nói rằng $a + 2 < b + 1 \Rightarrow$ (III) sai.

Vậy có $1$ khẳng định sai.

+ Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $2a$ bất kì ta được $2a - 5 < 2a + 1 \Rightarrow$ A đúng.

+ Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được $4a < 4a + 1$$\Rightarrow$  C đúng.

+ Vì $1 >  - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $5a$ bất kì ta được $5a + 1 < 5a - 2 \Rightarrow$ D đúng.

+ Vì $- 3 <  - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được $3a - 3 < 3a - 1 \Rightarrow$ B sai.

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $x - 3 \le y - 3$với $3$ ta được:

$x - 3 \le y - 3 \Rightarrow x - 3 + 3 \le y - 3 + 3 \Rightarrow x \le y.$

Từ $a > b$, cộng $- b$ vào hai vế ta được $a - b > b - b,$ tức là $a - b > 0$.

Ta có: $m - \dfrac{1}{2} = n \Rightarrow m - n = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m - n > 0 \Rightarrow m > n$ .

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a + 8 < b$ với $\left( { - 15} \right)$ ta được

$a + 8 < b \Rightarrow a + 8 - 15 < b - 15 \Rightarrow a - 7 < b - 15$

Từ $a-1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$ .

Từ $b + 2 = c-3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$ .

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên  $b < a < c$ .

Xét hiệu:

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - {(a + b + c)^2}$

$\begin{array}{l} = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\end{array}$

(vì ${(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$)

Nên $3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}$ .