Với \(a,b,c\) bất kỳ. Hãy so sánh \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) và \(ab + bc + ca\).

Xét hiệu:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

(vì \({(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\))

Nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\).