Hình thang

Ta có :  $\hat A = 70^\circ$

Theo ý a) suy ra:

$\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;$$= (180^\circ  - 70^\circ ):2 = 55^\circ \;\;\;\;\;\;$

Vì $\widehat {BDE}$ và  $\widehat {ADE}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {BDE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} = 180^\circ  - 55^\circ  = 125^\circ$$\Rightarrow \widehat {DEC} = 125^\circ$   (Vì $DEBC$ là hình thang cân)

Vậy $\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 125^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 55^\circ$ .

Tam giác $ADE$ có $AD = AE(gt)$ nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Mà 2 góc  $\widehat {ADE}$ và  $\widehat {ABC}$ là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.

Tam giác $ADE$ có $AD = AE(gt)$ nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Mà 2 góc  $\widehat {ADE}$ và  $\widehat {ABC}$ là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.

Vì $DE//BC$ (gt)  nên suy ra  $\widehat {DIB} = \widehat {IBC}$  ( so le trong)

Mà  $\widehat {DBI} = \widehat {IBC}$  (gt) nên  $\widehat {DIB} = \widehat {DBI}$

Suy ra tam giác $BDI$ cân đỉnh $D$.

Do đó $DI = DB\,\,(1)$

Ta có: $IE//CB$ nên suy ra  $\widehat {EIC} = \widehat {BCI}$  ( so le trong)

Mà  $\widehat {BCI} = \widehat {ECI}$  (gt) nên  $\widehat {ECI} = \widehat {EIC}$

Suy ra tam giác $EIC$ cân đỉnh $E$.

Do đó $EI = EC\,\,(2)$.

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta  được:

$DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE$

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Ta có $BM = MN$ khi và chỉ khi $\Delta MNB$ cân tại $M \Rightarrow$  $\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_1}}$$\Leftrightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$(vì $\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_2}}$) nên $BN$ là phân giác góc $ABC$.

Tương tự $MN = NC$ khi và chỉ khi $\Delta MNC$ cân tại $N \Rightarrow$$\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ nên $CM$ là phân giác góc $ACB$ .

Như vậy, nếu $BN$ và $CM$ là các đường phân giác của tam giác $ABC$ thì $BM = MN = CN.$

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$

Xét tam giác $ANM$ có:     $\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}$(tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$( vì $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$ )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì $\widehat B = \widehat C$ )       (2)

Từ (1) và (2) $\widehat {AMN} = \widehat B$

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có $\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$

Xét tam giác $ANM$ có:     $\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}$(tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$( vì $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$ )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì $\widehat B = \widehat C$ )       (2)

Từ (1) và (2) $\widehat {AMN} = \widehat B$

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có $\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Tam giác $ADE$ có $AD = AE(gt)$ nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Mà 2 góc  $\widehat {ADE}$ và  $\widehat {ABC}$ là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$

Xét tam giác $ANM$ có:     $\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}$(tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$( vì $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$ )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì $\widehat B = \widehat C$ )       (2)

Từ (1) và (2) $\widehat {AMN} = \widehat B$

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có $\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Theo định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song” nên A đúng.

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$ nên $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A = 360^\circ  - 70^\circ  - 65^\circ  - 115^\circ  = 110^\circ$.

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng $180^\circ$ nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng $180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ$.

Xét $\Delta BAC$ có: $BA = CA(gt)$ nên $\Delta BCA$ là tam giác cân.

Suy ra: $\widehat {CBA} = \widehat {ABC} = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}$ (1)  nên A đúng.

Vì $\Delta AMN$ cân tại $A \Rightarrow AM = AN$ mà $AB = AC$ nên $AM - AB = AN - AC \Leftrightarrow MB = NC$  do dó C đúng.

Lại có: $\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}$ (2)  (do $\Delta AMN$ cân tại $A$).

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {ABC} = \widehat {AMN}$

Mà hai góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {AMN}$ là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $BC//MN$.

Tứ giác $BCNM$ có: $MN//BC$ (cmt) nên là hình thang.

Hình thang $BCNM$ có: $\widehat {BMN} = \widehat {CNM}\,\left( {cmt} \right)$ nên là hình thang cân. Do đó, B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Từ $B$ kẻ $BE$ vuông góc với $CD$ tại $E.$

Tứ giác $ABED$ là hình thang có hai cạnh bên $AD{\rm{//}}BE$ nên $AD = BE,AB = DE$.

Mặt khác, $DC = BC = 2AB$ nên $DC = 2ED$, do đó $E$ là trung điểm của $DC$.

Xét $\Delta BDE$ và $\Delta BCE$ có $\widehat {BED} = \widehat {BEC} = 90^\circ ;\,DE = EC;BE$ cạnh chung nên $\Delta BED = \Delta BEC\left( {c - g - c} \right)$.

Suy ra $BD = BC$ mà $BC = DC\left( {gt} \right) \Rightarrow BD = BC = CD$ nên $\Delta BCD$ đều.

Xét $\Delta BCD$ đều có $BE$ là đường cao cũng là đường phân giác nên $\widehat {EBC} = \dfrac{1}{2}\widehat {DBC} = \dfrac{1}{2}60^\circ  = 30^\circ$.

Vì $AD//BE$ mà $\widehat {BAD} = 90^\circ$ nên $\widehat {ABE} = 180^\circ  - \widehat {BAD} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ$ (hai góc trong cũng phía bù nhau)

Từ đó $\widehat {ABC} = \widehat {ABE} + \widehat {EBC} = 90^\circ  + 30^\circ  = 120^\circ$.

Vậy $\widehat {ABC} = 120^\circ$.

Ta có: $\hat A = 80^\circ$

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat A} \right):2\;$$= (180^\circ  - 80^\circ ):2 = 50^\circ \;\;\;\;\;\;$.

Vì $DE//BC\left( {gt} \right)$ nên $\widehat {EDB} + \widehat {DBE} = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat {BDE} = 180^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ$.

Tương tự ta có: $\widehat {DEC} = 130^\circ$

Vậy $\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 130^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 50^\circ$.

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.