Hình thang

Ta có :  \(\hat A = 70^\circ \)

Theo ý a) suy ra:

\(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\)\( = (180^\circ  - 70^\circ ):2 = 55^\circ \;\;\;\;\;\;\)

Vì \(\widehat {BDE}\) và  \(\widehat {ADE}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} = 180^\circ  - 55^\circ  = 125^\circ \)$ \Rightarrow \widehat {DEC} = 125^\circ $   (Vì $DEBC$ là hình thang cân)

Vậy \(\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 125^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 55^\circ \) .

Tam giác $ADE$ có \(AD = AE(gt)\) nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)\)

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà 2 góc  \(\widehat {ADE}\) và  \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.

Tam giác $ADE$ có \(AD = AE(gt)\) nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)\)

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà 2 góc  \(\widehat {ADE}\) và  \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.

Vì $DE//BC$ (gt)  nên suy ra  \(\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\)  ( so le trong)

Mà  \(\widehat {DBI} = \widehat {IBC}\)  (gt) nên  \(\widehat {DIB} = \widehat {DBI}\)

Suy ra tam giác $BDI$ cân đỉnh $D$.

Do đó \(DI = DB\,\,(1)\)

Ta có: $IE//CB$ nên suy ra  \(\widehat {EIC} = \widehat {BCI}\)  ( so le trong)

Mà  \(\widehat {BCI} = \widehat {ECI}\)  (gt) nên  \(\widehat {ECI} = \widehat {EIC}\)

Suy ra tam giác $EIC$ cân đỉnh $E$.

Do đó \(EI = EC\,\,(2)\).

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta  được:

\(DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE\)

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Ta có $BM = MN$ khi và chỉ khi \(\Delta MNB\) cân tại \(M \Rightarrow \)  \(\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_1}}\)\( \Leftrightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)(vì \(\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_2}}\)) nên \(BN\) là phân giác góc $ABC$.

Tương tự $MN = NC$ khi và chỉ khi \(\Delta MNC\) cân tại \(N \Rightarrow \)\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) nên \(CM\) là phân giác góc \(ACB\) .

Như vậy, nếu $BN$ và $CM$ là các đường phân giác của tam giác $ABC$ thì $BM = MN = CN.$

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\)

Xét tam giác $ANM$ có:     \(\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}\)(tổng ba góc trong một tam giác)

\(\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)( vì \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì \(\widehat B = \widehat C\) )       (2)

Từ (1) và (2) \(\widehat {AMN} = \widehat B\)

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\)

Xét tam giác $ANM$ có:     \(\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}\)(tổng ba góc trong một tam giác)

\(\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)( vì \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì \(\widehat B = \widehat C\) )       (2)

Từ (1) và (2) \(\widehat {AMN} = \widehat B\)

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Tam giác $ADE$ có \(AD = AE(gt)\) nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)\)

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà 2 góc  \(\widehat {ADE}\) và  \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Ta có:$AB = AM + MB$  và  $AC = AN + NC$ . Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại$A$ )và $BM = NC$  ( gt)

Suy ra $AN = AM$

Xét tam giác $AMN$ có: $AM = AN$ (cmt)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại$A$ . Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\)

Xét tam giác $ANM$ có:     \(\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}\)(tổng ba góc trong một tam giác)

\(\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)( vì \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) )     (1)

 Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có:  \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác) nên  $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$  ( vì \(\widehat B = \widehat C\) )       (2)

Từ (1) và (2) \(\widehat {AMN} = \widehat B\)

Mà $\widehat {AMN},\widehat B$là hai góc đồng vị nên $MN$ //$BC$ .

Xét tứ giác $MNCB$ có $MN$ // $BC$ nên $MNCB$ là hình thang.

Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại$A$ ) nên $MNCB$ là hình thang cân.

Theo định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song” nên A đúng.

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^\circ \) nên \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A = 360^\circ  - 70^\circ  - 65^\circ  - 115^\circ  = 110^\circ \).

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng \(180^\circ \) nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng \(180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ \).

Xét \(\Delta BAC\) có: \(BA = CA(gt)\) nên \(\Delta BCA\) là tam giác cân.

Suy ra: \(\widehat {CBA} = \widehat {ABC} = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}\) (1)  nên A đúng.

Vì \(\Delta AMN\) cân tại \(A \Rightarrow AM = AN\) mà \(AB = AC\) nên \(AM - AB = AN - AC \Leftrightarrow MB = NC\)  do dó C đúng.

Lại có: \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}\) (2)  (do \(\Delta AMN\) cân tại \(A\)).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {AMN}\)

Mà hai góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {AMN}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra \(BC//MN\).

Tứ giác \(BCNM\) có: \(MN//BC\) (cmt) nên là hình thang.

Hình thang \(BCNM\) có: \(\widehat {BMN} = \widehat {CNM}\,\left( {cmt} \right)\) nên là hình thang cân. Do đó, B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Từ \(B\) kẻ \(BE\) vuông góc với \(CD\) tại \(E.\)

Tứ giác \(ABED\) là hình thang có hai cạnh bên \(AD{\rm{//}}BE\) nên \(AD = BE,AB = DE\).

Mặt khác, \(DC = BC = 2AB\) nên \(DC = 2ED\), do đó \(E\) là trung điểm của \(DC\).

Xét \(\Delta BDE\) và \(\Delta BCE\) có \(\widehat {BED} = \widehat {BEC} = 90^\circ ;\,DE = EC;BE\) cạnh chung nên \(\Delta BED = \Delta BEC\left( {c - g - c} \right)\).

Suy ra \(BD = BC\) mà \(BC = DC\left( {gt} \right) \Rightarrow BD = BC = CD\) nên \(\Delta BCD\) đều.

Xét \(\Delta BCD\) đều có \(BE\) là đường cao cũng là đường phân giác nên \(\widehat {EBC} = \dfrac{1}{2}\widehat {DBC} = \dfrac{1}{2}60^\circ  = 30^\circ \).

Vì \(AD//BE\) mà \(\widehat {BAD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ABE} = 180^\circ  - \widehat {BAD} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \) (hai góc trong cũng phía bù nhau)

Từ đó \(\widehat {ABC} = \widehat {ABE} + \widehat {EBC} = 90^\circ  + 30^\circ  = 120^\circ \).

Vậy \(\widehat {ABC} = 120^\circ \).

Ta có: \(\hat A = 80^\circ \)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat A} \right):2\;\)\( = (180^\circ  - 80^\circ ):2 = 50^\circ \;\;\;\;\;\;\).

Vì \(DE//BC\left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {EDB} + \widehat {DBE} = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat {BDE} = 180^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ \).

Tương tự ta có: \(\widehat {DEC} = 130^\circ \)

Vậy \(\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 130^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 50^\circ \).

Tứ giác \(BDEC\) có DE // BC nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.

Tứ giác \(BDEC\) có DE // BC nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.