Đa giác, đa giác đều

Số đường chéo của đa giác lồi \(n\) cạnh bằng \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {9 - 3} \right)}}{2} = 27\).

Tổng các góc của đa giác \(9\) cạnh bằng \(\left( {9 - 2} \right). 180^\circ  = 1260^\circ \).

Lục giác đều có 6 cạnh nên:

Mỗi góc của lục giác đều bằng \(\dfrac{{\left( {6 - 2} \right). 180^\circ }}{6} = {120^0}\).

Từ giả thiết ta có \(\left( {n - 2} \right). 180^\circ  = 1620^\circ  \Leftrightarrow n - 2 = 9\)\( \Leftrightarrow n = 11\).

Số các đường chéo của đa giác lồi \(6\) cạnh bằng \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = \dfrac{{6\left( {6 - 3} \right)}}{2} = 9\).

Ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 44\) \( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 88 = 0 \Leftrightarrow \left( {n - 11} \right)\left( {n + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 11 = 0\\n + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\,(tm)\\n =  - 8\,(ktm)\end{array} \right.\)

Số cạnh của đa giác là \(11\).

Hình chữ nhật là đa giác không đều vì hình chữ nhật có \(4\) góc vuông nhưng các cạnh không bằng nhau nên không là đa giác đều.

Hình thoi là đa giác không đều vì các cạnh bằng nhau nhưng các góc không bằng nhau.

Số đo góc của hình ngũ giác đều: \(\dfrac{{\left( {5 - 2} \right){{. 180}^0}}}{5} = 108^\circ \).

Tổng số đo góc trong của lục giác là: \(\left( {5 - 2} \right){. 180^0} = {540^0}.\)

Câu sai là: Tổng các góc trong của nó là \(450^\circ \).

Số đo góc trong của hình đa giác đều \(7\) cạnh là: \(\dfrac{{\left( {8 - 2} \right){{. 180}^0}}}{8} = 135^\circ \).

Vì góc trong và ngóc ngoài đa giác kề bù nên số đo góc ngoài ngũ giác đều là: \(180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \).

Gọi n là số cạnh của đa giác đều cần tìm \(\left( {n \ge 3} \right)\).

Mỗi góc của đa giác đều có số đo \(\dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}\).

Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác là \(360^\circ \).

Theo bài ra ta có phương trình:

\(360^\circ  + \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 480^\circ \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 480^\circ  - 360^\circ \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 120^\circ \)

\( \Leftrightarrow 180^\circ .n - 360^\circ  = 120^\circ .n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 180^\circ .n - 120^\circ .n = 360^\circ \\ \Leftrightarrow 60^\circ .n = 360^\circ \\ \Leftrightarrow n = 360^\circ :60^\circ \\ \Leftrightarrow n = 6\end{array}\).

Vậy đa giác đều cần tìm có \(6\) cạnh.

Số đường chéo của đa giác lồi $n$ cạnh bằng \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = \dfrac{{8\left( {8 - 3} \right)}}{2} = 20\)  .

Tổng các góc của đa giác $7$ cạnh bằng $\left( {7 - 2} \right).180^\circ  = 900^\circ $ .

Mỗi góc của đa giác đều $n$ cạnh bằng \(\dfrac{{\left( {n - 2} \right).180^\circ }}{n}\).

Từ giả thiết ta có  $\left( {n - 2} \right).180^\circ  = 1440^\circ  \Leftrightarrow n - 2 = 8$\( \Leftrightarrow n = 10\) .

Số các đường chéo của đa giác lồi $5$ cạnh bằng\(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = \dfrac{{5\left( {5 - 3} \right)}}{2} = 5\)  .

Ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 54 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 108 = 0 \\ \Leftrightarrow n^2-12n+9n-108=0\\\Leftrightarrow n(n-12)+9(n-12)=0\\\Leftrightarrow \left( {n - 12} \right)\left( {n + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 12 = 0\\n + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\,(tm)\\n =  - 9\,(ktm)\end{array} \right.\)

Số cạnh của đa giác là$12$ .

Hình vuông  là tứ giác đều (có bốn cạnh bằng nhau và các góc cùng bằng \(90^\circ \) ) và tam giác đều là những đa giác đều.

Hình chữ nhật là đa giác không đều vì hình chữ nhật có $4$ góc vuông nhưng các cạnh không bằng nhau nên không là đa giác đều.

Hình thoi là đa giác không đều vì các cạnh bằng nhau nhưng các góc không bằng nhau.

Tam giác cân không là đa giác đều vì có ba cạnh không bằng nhau.

Số đo góc trong của hình lục giác đều:   \(\dfrac{{\left( {6 - 2} \right){{.180}^0}}}{6} = 120^\circ \)

Tổng số đo góc trong của lục giác đều là: \(\left( {6 - 2} \right){.180^0} = {720^0}.\)

Câu sai là: Mỗi góc trong của nó là \(150^\circ \) .  

Số đo góc trong của hình ngũ giác đều:   \(\dfrac{{\left( {5 - 2} \right){{.180}^0}}}{5} = 108^\circ \)

Vì góc trong và ngóc ngoài đa giác kề bù nên số đo góc ngoài ngũ giác đều là: \(180^\circ  - 108^\circ  = 72^\circ \)

Gọi n là số cạnh của đa giác đều cần tìm  \(\left( {n \ge 3} \right)\).

Mỗi góc trong của đa giác đều có số đo \(\dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}\) .

Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác là \(360^\circ \).

Theo bài ra ta có phương trình:

\(360^\circ  + \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 468^\circ \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 468^\circ  - 360^\circ \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = 108^\circ \)

\( \Leftrightarrow 180^\circ .n - 360^\circ  = 108^\circ .n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 180^\circ .n - 108^\circ .n = 360^\circ \\ \Leftrightarrow 72^\circ .n = 360^\circ \\ \Leftrightarrow n = 360^\circ :72^\circ \\ \Leftrightarrow n = 5\end{array}\)

Vậy đa giác đều cần tìm có $5$ cạnh.