Trường hợp đồng dạng thứ ba

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A\;chung$

$\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\;(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta ACB\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{8} = \dfrac{8}{{16}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{8.8}}{{16}} = 4cm$.

Tam giác $ABC$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - {40^0} - {80^0} = {60^0}$

Tam giác $DEF$ có: $\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^0}$ $\Rightarrow \widehat F = {180^0} - \widehat D - \widehat E$ $= {180^0} - {40^0} - {60^0} = {80^0}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EFD$ có:

$\widehat A = \widehat E = {40^0}$

$\widehat C = \widehat D = {60^0}$

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta EFD\,(g - g)$ hay $\Delta CBA \backsim \Delta DFE$.

Tam giác $ABC$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - {40^0} - {80^0} = {60^0}$

Tam giác $DEF$ có: $\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^0}$ $\Rightarrow \widehat F = {180^0} - \widehat D - \widehat E$ $= {180^0} - {40^0} - {60^0} = {80^0}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EFD$ có:

$\widehat A = \widehat E = {40^0}$

$\widehat C = \widehat D = {60^0}$

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta EFD\,(g - g)$ hay $\Delta CBA \backsim \Delta DFE$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pi-ta-go ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ $\Rightarrow B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169$ $\Rightarrow BC = 13$.

$BM = \dfrac{5}{{13}}BC = \dfrac{5}{{13}}.13 = 5$ $\Rightarrow CM = 13 - 5 = 8$.

Xét $\Delta CMN$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat N = \widehat A = {90^0}$ (gt)

$\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta CMN \backsim \Delta CBA\left( {g - g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow MN = \dfrac{{AB.CM}}{{CB}} = \dfrac{{5.8}}{{13}} = \dfrac{{40}}{{13}}$.

Xét tam giác $ABD$ và $BDC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {DBC} = {90^0}$

$\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta BDC\left( {g - g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (cạnh t/ư)

$\Rightarrow B{D^2} = AB.CD = 4.9 = 36$ $\Rightarrow BD = 6$.

Theo câu a, $DC = 5cm = CM$.

Xét $\Delta CDI$ và $\Delta CMI$ có:

$\begin{array}{l}DC = MC\left( {cmt} \right)\\\widehat {DCI} = \widehat {MCI}\left( {phân\,giác\,CI} \right)\\chung\,CI\end{array}$

$\Rightarrow \Delta CDI = \Delta CMI\left( {c.g.c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {CMI}$ (góc t/ư)

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BMI}$ (do $\widehat {ADI} + \widehat {CDI} = {180^0} = \widehat {BMI} + \widehat {CMI}$)

Xét $\Delta BIM$ và $\Delta BAD$ có:

$\widehat {MBI} = \widehat {ABD}$ ($BD$ là phân giác góc $\widehat B$)

$\widehat {ADB} = \widehat {BMI}\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta BIM \backsim \Delta BAD\left( {g - g} \right)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pi – ta – go ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ $= {6^2} + {8^2} = 100$ $\Rightarrow BC = 10cm$.

Ta có: $BD$ là phân giác góc $B$ nên $\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}$ hay $\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{BA}} = \dfrac{{DC + DA}}{{BC + BA}}$ $= \dfrac{8}{{10 + 6}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow DC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5cm$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pi – ta – go ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ $= {6^2} + {8^2} = 100$ $\Rightarrow BC = 10cm$.

Ta có: $BD$ là phân giác góc $B$ nên $\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}$ hay $\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{BA}} = \dfrac{{DC + DA}}{{BC + BA}}$ $= \dfrac{8}{{10 + 6}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow DC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5cm$.

Theo câu a, $\Delta ADB \backsim \Delta CDH$$\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DH}} = \dfrac{{AB}}{{CH}}$ (cạnh t/ư) nên D đúng.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {AHE} = \widehat {CHD}$ (đối đỉnh)

$\widehat {EAH} = \widehat {DCH}\left( {cmt} \right)$

Suy ra $\Delta AHE \backsim \Delta CHD\left( {g - g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HD}}$ (cạnh t/ư)$\Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HE}} = \dfrac{{HC}}{{HD}}$.

Xét $\Delta HAC$ và $\Delta HED$ có:

$\widehat {AHC} = \widehat {EHD}$ (đối đỉnh)

$\dfrac{{HA}}{{HE}} = \dfrac{{HC}}{{HD}}\left( {cmt} \right)$

Suy ra $\Delta HAC \backsim \Delta HED$(c-g-c)

$\Rightarrow \widehat {HCA} = \widehat {HDE}$ (góc t/ư) hay C sai.

Xét tam giác $ABD$ và $CBE$ có:

$\widehat E = \widehat D = {90^0}$

Chung $\widehat B$

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta CBE\left( {g - g} \right)$.

$\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BCE} = \widehat {DCH}$ (góc t/ư)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta CDH$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \widehat {CDH} = {90^0}\\\widehat {BAD} = \widehat {DCH}\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ADB \backsim \Delta CDH\left( {g - g} \right)$

Vậy A, B đều đúng.

Xét tam giác $ABD$ và $CBE$ có:

$\widehat E = \widehat D = {90^0}$

Chung $\widehat B$

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta CBE\left( {g - g} \right)$.

$\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BCE} = \widehat {DCH}$ (góc t/ư)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta CDH$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \widehat {CDH} = {90^0}\\\widehat {BAD} = \widehat {DCH}\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ADB \backsim \Delta CDH\left( {g - g} \right)$

Vậy A, B đều đúng.

Có $ABCD$ là hình bình hành nên:

$AD{\rm{//}}BC, AB{\rm{//}}\,DC$

Xét $\Delta BGE$ và $\Delta DGF$ có:

$\widehat {BGE} = \widehat {DGF}$ (đối đỉnh)

$\widehat {EBG} = \widehat {FDG}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta BGE \backsim \Delta DGF$ (g-g) nên C đúng.

Xét $\Delta AHF$ và $\Delta CHE$ có:

$\widehat {AHF} = \widehat {CHE}$ (đối đỉnh)

$\widehat {HAF} = \widehat {HCE}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta AHF \backsim \Delta CHE\left( {g - g} \right)$ nên D đúng.

Lại có $GH//AB$ $\Rightarrow \widehat {IHG} = \widehat {IAB}$ (đồng vị)

Xét $\Delta GHI$ và $\Delta BAI$ có:

Chung $I$

$\widehat {IHG} = \widehat {IAB}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta GHI \backsim \Delta BAI\left( {g - g} \right)$

Suy ra B đúng.

Chỉ có A sai.

Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB = x$.

Tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}} + \widehat D = 2\widehat D$.

Ta lại có: $\widehat {BAC} = 2\widehat {{B_2}}$ nên $\widehat D = \widehat {{B_2}}$.

Xét $\Delta CBA$ và $\Delta CDB$ có: $\widehat C$ chung và $\widehat D = \widehat {{B_2}}$

Nên $\Delta CBA\backsim\Delta CDB\,\left( {g - g} \right)$ nên $\dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$,

tức là $\dfrac{{20}}{{16 + x}} = \dfrac{{16}}{{20}}$$\Leftrightarrow 16 + x = \dfrac{{20.20}}{{16}} = 25$ $\Rightarrow x = 25 - 16 = 9\left( {cm} \right)$.

Vậy $AB = 9cm$.

Đặt $\widehat B = \widehat C = x$, $\widehat {BDM} = \widehat {EDM} = y,$$\widehat {CEM} = \widehat {DEM} = z$

Tứ giác $BDCE$ có: $\widehat B + \widehat C + \widehat {BDE} + \widehat {CED} = {360^0}$

$\Rightarrow 2x + 2y + 2z = {360^0}$ $\Leftrightarrow x + y + z = {180^0}$

Hay $\widehat B + \widehat {BDM} + \widehat {CEM} = {180^0}$

Mà $\widehat B + \widehat {BDM} + \widehat {BMD} = {180^0}$(tổng ba góc trong tam giác)

Nên $\widehat {CEM} = \widehat {BMD}$.

Xét $\Delta BDM$ và $\Delta CME$ có:

$\begin{array}{l}\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\\\widehat {BMD} = \widehat {CEM}\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta BDM \backsim \Delta CME\left( {g - g} \right)$.

Tam giác $ABC$ có: $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác trong góc $A$.

Lại có: $DM$ là phân giác của góc $\widehat {BDE}$ nên $DM$ là phân giác ngoài góc $D$ của tam giác $ADE$.

Tam giác $ADE$ có phân giác trong $AM$ cắt phân giác ngoài $DM$ tại $M$ nên $EM$ là đường phân giác ngoài góc $E$ hay $EM$ là phân giác của góc $\widehat {DEC}$.

Vậy $\widehat {DEM} = \widehat {CEM}$.

Tam giác $ABC$ có: $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác trong góc $A$.

Lại có: $DM$ là phân giác của góc $\widehat {BDE}$ nên $DM$ là phân giác ngoài góc $D$ của tam giác $ADE$.

Tam giác $ADE$ có phân giác trong $AM$ cắt phân giác ngoài $DM$ tại $M$ nên $EM$ là đường phân giác ngoài góc $E$ hay $EM$ là phân giác của góc $\widehat {DEC}$.

Vậy $\widehat {DEM} = \widehat {CEM}$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$  nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$, ta lại có $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$ (gt) nên $\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ .

$\Delta MBC$ và $\Delta MCK$có

$\widehat {BMC}$ là góc chung;

$\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta MBC\backsim\Delta MCK$ (g.g).

Xét $\Delta HBE$ và $\Delta HCD$ có:

   $\widehat {BDC} = \widehat {CEB} = {90^0}$

   $\widehat {EHB} = \widehat {DHC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HBE\backsim\Delta HCD$(g – g)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có

$\widehat {AEC} = \widehat {BDA} = 90^\circ$

$\widehat A$  chung

Nên $\Delta ABD\backsim\Delta ACE\,\left( {g - g} \right)$.

+ Ta có: $\widehat {DMC} = \widehat {DME} + \widehat {EMC}$

Mặt khác: $\widehat {DMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BDM}$ (góc ngoài tam giác)

Mà: $\widehat {DME} = \widehat {ABC}$(gt) nên $\widehat {BDM} = \widehat {EMC}$

+ Ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$ ) và  $\widehat {BDM} = \widehat {EMC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$$\Delta BDM\backsim\Delta CME\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{CM}} = \dfrac{{BM}}{{CE}} \Rightarrow BD.CE = CM.BM$

Lại có M là trung điểm của BC và BC = 2a $\Rightarrow$BM = MC = a

$\Rightarrow BD.CE = {a^2}$ không đổi.

Ta có: $\widehat A = \widehat F$, $\widehat B = \widehat E$ thì $\Delta ABC \backsim \Delta FED\left( {g - g} \right)$.