Mở đầu về phương trình

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Đáp án A: loại vì $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác đinh.

Đáp án B: ${2^2} - 4 = 4 - 4 = 0$ nên $x = 2$ là nghiệm của phương trình đáp án B.

Đáp án C: Dễ thấy $2 + 2 = 4 \ne 0$ nên $x = 2$ không là nghiệm của phương trình đáp án C.

Đáp án D: Thay $x = 2$ ta được $VT = 2 - 1 = 1 \ne \dfrac{1}{2}\left( {3.2 - 1} \right) = VP$ nên không là nghiệm.

Mệnh đề (I): Thay $x = 5$ vào phương trình ta được $VT = 2.5 - 3 = 7$; $VP = \dfrac{{5 + 2}}{{5 - 4}} = \dfrac{7}{1} = 7$.

Do đó $VT = VP$ hay $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Do đó (I) đúng.

Mệnh đề (II): Sai do kí hiệu.

$7 - x = 2x - 8 \Leftrightarrow x = 5$ nên phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 5 \right\}$.

Mệnh đề (III): Đúng do $10 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 5$ nên phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 5 \right\}$.

Vậy có $2$ mệnh đề đúng.

+ $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

+ $- {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

+ ${x^2} + 3 =  - 6 \Leftrightarrow {x^2} =  - 9$ (vô nghiệm vì $- 9 < 0$)

+ $4{x^2} + 4x =  - 1$  $\Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}$

ĐKXĐ: $x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 4$

Phương trình $\Leftrightarrow 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4$ $\Leftrightarrow x =  \pm 2\left( {TM} \right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm 2} \right\}$.

Ta có: $5 - \left| {2x + 3} \right| = 0$$\Leftrightarrow \left| {2x + 3} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 5\\2x + 3 =  - 5\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 4\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;\,x =  - 4$.

+ Xét $x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6$ và $x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ nên hai phương trình $x - 2 = 4$  và $x + 1 = 2$ không tương đương.

+ Xét phương trình ${x^2} = 25 \Leftrightarrow x =  \pm 5$  nên  phương trình ${x^2} = 25$ có hai nghiệm. Suy ra hai phương trình $x = 5$ và ${x^2} = 25$ không tương đương.

+ Xét phương trình $4 + x = 5 \Leftrightarrow x = 1$ , mà $x = 1$ không là nghiệm của phương trình ${x^3} - 2x = 0$ (vì ${1^3} - 2.1 =  - 1 \ne 0$) nên hai phương trình $4 + x = 5$ và ${x^3} - 2x = 0$ không tương đương.

+ Xét phương trình $2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.$  và $\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.$

Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm $\left\{ {2; - 2} \right\}$ nên chúng tương đương.

Vậy chỉ có $1$ cặp phương trình tương đương trong các các cặp đã cho.

Đáp án A: $5x + 3 = 0$$\Leftrightarrow 5x =  - 3 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{5}$ (loại)

Đáp án B: $\dfrac{1}{{x + 3}} = 0$ có ĐKXĐ: $x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -3$ nên không nhận $-3$ làm nghiệm (loại)

Đáp án C: $- {x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3$ nên phương trình có hai nghiệm $x =  \pm 3$ (loại)

Đáp án D: $7 + 3x =  - 2 \Leftrightarrow 3x =  - 9$$\Leftrightarrow x =  - 3$ nên phương trình nhận $x =  - 3$ làm nghiệm duy nhất.

+ Xét phương trình $\left( 1 \right):$ ${x^2} + 2x + 1 = 0$  $\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow x =  - 1$

+ Xét phương trình $\left( 2 \right):$ ${x^2} - 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$ 

Nhận thấy $x = 1$ là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ nhưng không là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ nên hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ không tương đương.

Nếu phương trình $P\left( x \right) = m$ có nghiệm $x = {x_0}$ thì $P\left( {{x_0}} \right) = m$.

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào từng phương trình ta được

+) $x- 1 = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\,\left( L \right)$ nên $x = \dfrac{1}{2}$ không là nghiệm của phương trình $x - 1 = \dfrac{1}{2}$

+) ${x^2} + 1 = 5$$\Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow \dfrac{5}{4} = 5\,\left( L \right)$ nên $x = \dfrac{1}{2}$ không  là nghiệm của phương trình ${x^2} + 1 = 5$

+) $2x - 1 = 3$$\Rightarrow 2.\left( {\dfrac{1}{2}} \right) - 1 = 3 \Leftrightarrow 0 = 3\,\left( L \right)$ nên $x = \dfrac{1}{2}$ không  là nghiệm của phương trình $2x - 1 = 3$

+) $4{x^2} - 1 = 0$$\Rightarrow 4.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 4.\dfrac{1}{4} - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\,\left( N \right)$ nên $x = \dfrac{1}{2}$  là nghiệm của phương trình $4{x^2} - 1 = 0$

+ Ta có ${x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3$ . Nên $x = 3$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$ và tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {3; - 3} \right\}$. Suy ra A đúng, B sai.

+ Xét $(x + 3)(x - 3) = {x^2} - 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 9 = {x^2} - 9$ (luôn đúng) nên tập nghiệm của phương trình là $\mathbb{R}$, suy ra C sai.

+ Xét ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm $x = 2;\,x =  - 2$ nên D sai.

+) $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+) $4{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} =  - 1$ (vô nghiệm vì $4{x^2} \ge 0;\,\forall x$ )

+) ${x^2} - 3 = 6 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3$

+) ${x^2} + 6x =  - 9 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3$ .

Vậy phương trình $4{x^2} + 1 = 0$ vô nghiệm.

Ta có  $3x - 6 = x - 2$$\Leftrightarrow 3x - x = -2 + 6$

$\Leftrightarrow 2x = 4$

$\Leftrightarrow x = 2$

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$

Ta có $\left| {x + 3} \right| = 7$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 7\\x + 3 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 10\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 4;\,x =  - 10$ .

+ Xét $x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6$ và $x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ nên hai phương trình $x - 2 = 4$  và $x + 1 = 2$ không tương đương.

+ Xét phương trình ${x^2} = 25 \Leftrightarrow x =  \pm 5$  nên  phương trình ${x^2} = 25$ có hai nghiệm. Suy ra hai phương trình $x = 5$ và  ${x^2} = 25$ không tương đương.

+ Xét phương trình $4 + x = 5 \Leftrightarrow x = 1$ , mà $x = 1$ không là nghiệm của phương trình ${x^3} - 2x = 0$ (vì ${1^3} - 2.1 =  - 1 \ne 0$ ) nên hai phương trình $4 + x = 5$ và ${x^3} - 2x = 0$ không tương đương.

+ Xét phương trình $2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.$  và $\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.$

Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm $\left\{ {2; - 2} \right\}$ nên chúng tương đương.

Thay $x = a$ vào từng phương trình ta được

+) $5.a - 3a = 2 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ (loại) nên $x = a$  không là nghiệm của phương trình $5x - 3a = 2$.

+) ${a^2} = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.$ (loại) nên $x = a$  không là nghiệm của phương trình ${x^2} = a$.

+) $5a - \dfrac{a}{5} = 3a \Leftrightarrow \dfrac{9}{5}a = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (loại) nên $x = a$  không là nghiệm của phương trình $5a - \dfrac{x}{5} = 3x$.

+) ${a^2} - a.a = {a^2} - {a^2} = 0\,$ nên $x = a$   là nghiệm của phương trình ${x^2} - a.x = 0$

+ Xét phương trình $\left( 1 \right):$ ${x^2} - 2x + 1 = 0$  $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+ Xét phương trình $\left( 2 \right):$ ${x^2} - 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} = 1$$\Leftrightarrow x =  \pm 1$  

Nhận thấy $x =  - 1$ là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ nhưng không là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ nên hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ không tương đương.

Giá trị ${x_0}$ thỏa mãn $A({x_0}) = B({x_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $A\left( x \right) = B\left( x \right)$ .