Chọn khẳng định đúng:
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Phương trình nào sau đây nhận \(x = 2\) làm nghiệm?
Đáp án A: loại vì \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác đinh.
Đáp án B: \({2^2} - 4 = 4 - 4 = 0\) nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình đáp án B.
Đáp án C: Dễ thấy \(2 + 2 = 4 \ne 0\) nên \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình đáp án C.
Đáp án D: Thay \(x = 2\) ta được \(VT = 2 - 1 = 1 \ne \dfrac{1}{2}\left( {3.2 - 1} \right) = VP\) nên không là nghiệm.
Cho các mệnh sau:
(I) \(5\) là nghiệm của phương trình \(2x - 3 = \dfrac{{x + 2}}{{x - 4}}\).
(II) Tập nghiệm của phương trình \(7 - x = 2x - 8\) là \(x = 5\).
(III) Tập nghiệm của phương trình \(10 - 2x = 0\) là \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề (I): Thay \(x = 5\) vào phương trình ta được \(VT = 2.5 - 3 = 7\); \(VP = \dfrac{{5 + 2}}{{5 - 4}} = \dfrac{7}{1} = 7\).
Do đó \(VT = VP\) hay \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Do đó (I) đúng.
Mệnh đề (II): Sai do kí hiệu.
\(7 - x = 2x - 8 \Leftrightarrow x = 5\) nên phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Mệnh đề (III): Đúng do \(10 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 5\) nên phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Vậy có \(2\) mệnh đề đúng.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
+ \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
+ \( - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
+ \({x^2} + 3 = - 6 \Leftrightarrow {x^2} = - 9\) (vô nghiệm vì \( - 9 < 0\))
+ \(4{x^2} + 4x = - 1\) \( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\dfrac{{3{x^2} - 12}}{{x + 4}} = 0\) có tập nghiệm là:
ĐKXĐ: \(x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 4\)
Phương trình \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4\) \( \Leftrightarrow x = \pm 2\left( {TM} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm 2} \right\}\).
Số nghiệm của phương trình \(5 - \left| {2x + 3} \right| = 0\) là:
Ta có: \(5 - \left| {2x + 3} \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left| {2x + 3} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 5\\2x + 3 = - 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;\,x = - 4\).
Số cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau là:
(I) \(x - 2 = 4\) và \(x + 1 = 2\)
(II) \(x = 5\) và \({x^2} = 25\)
(III) \(2{x^2} - 8 = 0\) và \(\left| x \right| = 2\)
(IV) \(4 + x = 5\) và \({x^3} - 2x = 0\)
+ Xét \(x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6\) và \(x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\) nên hai phương trình \(x - 2 = 4\) và \(x + 1 = 2\) không tương đương.
+ Xét phương trình \({x^2} = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5\) nên phương trình \({x^2} = 25\) có hai nghiệm. Suy ra hai phương trình \(x = 5\) và \({x^2} = 25\) không tương đương.
+ Xét phương trình \(4 + x = 5 \Leftrightarrow x = 1\) , mà \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình \({x^3} - 2x = 0\) (vì \({1^3} - 2.1 = - 1 \ne 0\)) nên hai phương trình \(4 + x = 5\) và \({x^3} - 2x = 0\) không tương đương.
+ Xét phương trình \(2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) và \(\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm \(\left\{ {2; - 2} \right\}\) nên chúng tương đương.
Vậy chỉ có \(1\) cặp phương trình tương đương trong các các cặp đã cho.
Phương trình nào dưới đây nhận \(x = - 3\) là nghiệm duy nhất?
Đáp án A: \(5x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 5x = - 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{5}\) (loại)
Đáp án B: \(\dfrac{1}{{x + 3}} = 0\) có ĐKXĐ: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -3\) nên không nhận \(-3\) làm nghiệm (loại)
Đáp án C: \( - {x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = \pm 3\) (loại)
Đáp án D: \(7 + 3x = - 2 \Leftrightarrow 3x = - 9\)\( \Leftrightarrow x = - 3\) nên phương trình nhận \(x = - 3\) làm nghiệm duy nhất.
Chọn khẳng định đúng?
+ Xét phương trình \(\left( 1 \right):\) \({x^2} + 2x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1\)
+ Xét phương trình \(\left( 2 \right):\) \({x^2} - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Nhận thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) nhưng không là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) nên hai phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) không tương đương.
Nếu phương trình \(P\left( x \right) = m\) có nghiệm \(x = {x_0}\) thì \({x_0}\) thỏa mãn:
Nếu phương trình \(P\left( x \right) = m\) có nghiệm \(x = {x_0}\) thì \(P\left( {{x_0}} \right) = m\).
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Số \(\dfrac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào từng phương trình ta được
+) \(x- 1 = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\,\left( L \right)\) nên \(x = \dfrac{1}{2}\) không là nghiệm của phương trình \(x - 1 = \dfrac{1}{2}\)
+) \({x^2} + 1 = 5\)\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow \dfrac{5}{4} = 5\,\left( L \right)\) nên \(x = \dfrac{1}{2}\) không là nghiệm của phương trình \({x^2} + 1 = 5\)
+) \(2x - 1 = 3\)\( \Rightarrow 2.\left( {\dfrac{1}{2}} \right) - 1 = 3 \Leftrightarrow 0 = 3\,\left( L \right)\) nên \(x = \dfrac{1}{2}\) không là nghiệm của phương trình \(2x - 1 = 3\)
+) \(4{x^2} - 1 = 0\)\( \Rightarrow 4.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 4.\dfrac{1}{4} - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\,\left( N \right)\) nên \(x = \dfrac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình \(4{x^2} - 1 = 0\)
Chọn khẳng định đúng.
+ Ta có \({x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\) . Nên \(x = 3\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 9 = 0\) và tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {3; - 3} \right\}\). Suy ra A đúng, B sai.
+ Xét \((x + 3)(x - 3) = {x^2} - 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 9 = {x^2} - 9\) (luôn đúng) nên tập nghiệm của phương trình là \(\mathbb{R}\), suy ra C sai.
+ Xét \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm \(x = 2;\,x = - 2\) nên D sai.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
+) \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
+) \(4{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} = - 1\) (vô nghiệm vì \(4{x^2} \ge 0;\,\forall x\) )
+) \({x^2} - 3 = 6 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
+) \({x^2} + 6x = - 9 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) .
Vậy phương trình \(4{x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình \(3x - 6 = x - 2\) là
Ta có \(3x - 6 = x - 2\)\( \Leftrightarrow 3x - x = -2 + 6 \)
\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)
\(\Leftrightarrow x = 2\)
Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)
Có bao nhiêu nghiệm của phương trình \(\left| {x + 3} \right| = 7\)?
Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 7\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 7\\x + 3 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 10\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 4;\,x = - 10\) .
Hai phương trình nào sau đây là hai phương trình tương đương?
+ Xét \(x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6\) và \(x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\) nên hai phương trình \(x - 2 = 4\) và \(x + 1 = 2\) không tương đương.
+ Xét phương trình \({x^2} = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5\) nên phương trình \({x^2} = 25\) có hai nghiệm. Suy ra hai phương trình \(x = 5\) và \({x^2} = 25\) không tương đương.
+ Xét phương trình \(4 + x = 5 \Leftrightarrow x = 1\) , mà \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình \({x^3} - 2x = 0\) (vì \({1^3} - 2.1 = - 1 \ne 0\) ) nên hai phương trình \(4 + x = 5\) và \({x^3} - 2x = 0\) không tương đương.
+ Xét phương trình \(2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) và \(\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm $\left\{ {2; - 2} \right\}$ nên chúng tương đương.
Phương trình nào dưới đây nhận \(x = a\) ($a$ là hằng số khác \(0\) và \(1\) ) làm nghiệm
Thay \(x = a\) vào từng phương trình ta được
+) \(5.a - 3a = 2 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1\) (loại) nên \(x = a\) không là nghiệm của phương trình \(5x - 3a = 2\).
+) \({a^2} = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\) (loại) nên \(x = a\) không là nghiệm của phương trình \({x^2} = a\).
+) \(5a - \dfrac{a}{5} = 3a \Leftrightarrow \dfrac{9}{5}a = 0 \Leftrightarrow a = 0\) (loại) nên \(x = a\) không là nghiệm của phương trình \(5a - \dfrac{x}{5} = 3x\).
+) ${a^2} - a.a = {a^2} - {a^2} = 0\,$ nên \(x = a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - a.x = 0\)
Chọn khẳng định đúng?
+ Xét phương trình \(\left( 1 \right):\) \({x^2} - 2x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
+ Xét phương trình \(\left( 2 \right):\) \({x^2} - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 1 \)\(\Leftrightarrow x = \pm 1\)
Nhận thấy \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) nhưng không là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) nên hai phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) không tương đương.
Số \({x_0}\) được gọi là nghiệm của phương trình \(A\left( x \right) = B\left( x \right)\) khi
Giá trị ${x_0}$ thỏa mãn $A({x_0}) = B({x_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình \(A\left( x \right) = B\left( x \right)\) .
