Trường hợp đồng dạng thứ hai

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{20}}{{25}}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c).

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{3}{8};\,\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\end{array}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ABC$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên  $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (c.g.c)

Vì $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$  (cmt) nên $\widehat A = \widehat {DBC}$.

Ta có $\widehat A = {90^0}$ nên $\widehat {DBC} = {90^0}$. Theo định lí Py-ta-go, ta có

$B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {25^2} - {20^2} = {15^2}.$ Vậy $BC = 15cm.$

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{20}}{{25}}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c).

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{20}}{{25}}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c).

+ Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\left( { = \dfrac{1}{2}} \right)$ nên $\Delta {\rm A}{\rm B}{\rm E}\backsim\Delta ACD\,\left( {c - g - c} \right)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng) và $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{BE}}{{CD}} \Rightarrow AE.CD = AD.BE$ .

+ $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (cmt) nên $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow AE.AC = AB.AD$.

Nên A, C, D đúng, B sai.

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{3}{8};\,\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\end{array}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ABC$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên  $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (c.g.c)

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{3}{8};\,\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\end{array}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ABC$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên  $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (c.g.c)

$\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$.

Có: $\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2},\dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Để hai tam giác đã cho đồng dạng thì $\widehat {ABC} = \widehat {EDF} = {60^0}$.

Do $DE//BC$ nên theo định lý Talet ta có $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ nên C đúng.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ ta có:

    $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ (cmt)

     $\widehat A$ chung.

$\Rightarrow \Delta ADE\backsim\Delta ABC$ (c – g – c) nên A đúng

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (cặp góc tương ứng) nên D sai.

Ta có:

$\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}$

Xét $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có:

   $\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}$(chứng minh trên)

    $\widehat A\;chung$

$\Rightarrow \Delta ANM\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)

$\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{CB}} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \dfrac{8}{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 8.2 = 16$

Ta có:

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{8}{{16}} = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CAD$ có:

   $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}$ (chứng minh trên)

   $\widehat {BAC} = \widehat {ACD}$ (cặp góc so le trong)

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta CAD$ (c – g – c)

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \dfrac{{BC}}{{12}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{12.1}}{2} = 6$.

Ta có:

$\dfrac{{CD}}{{CB}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{4.27}}{9} = 12$

$\dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{3}{2};\dfrac{{CB}}{{CA}} = \dfrac{{27}}{{18}} = \dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{CB}}{{CA}}$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta DCA$ có $\widehat C$ chung và $\dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{CB}}{{CA}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên $\Delta ACB\backsim\Delta DCA$ (c.g.c)

$\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{DA}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} = \dfrac{{15}}{{DA}}$ $\Rightarrow DA = \dfrac{{2.15}}{3} = 10\,cm$.

Tam giác $BDC$ vuông tại $B$(theo câu a), theo định lý Pi-ta-go ta có:

$B{D^2} + B{C^2} = C{D^2}$ $\Leftrightarrow {2^2} + B{C^2} = {4^2}$ $\Leftrightarrow B{C^2} = 12 \Rightarrow BC \approx 3,46$.

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có: $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c) nên A đúng.

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC} < {90^0}$ nên B sai.

$\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ (cạnh t/u)$\Leftrightarrow BC = 2AD$ nên C đúng.

$\widehat {BAD} = \widehat {DBC} = {90^0}$ nên $BD \bot BC$ hay D đúng.

Vậy chỉ có B sai.

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có: $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c) nên A đúng.

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC} < {90^0}$ nên B sai.

$\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ (cạnh t/u)$\Leftrightarrow BC = 2AD$ nên C đúng.

$\widehat {BAD} = \widehat {DBC} = {90^0}$ nên $BD \bot BC$ hay D đúng.

Vậy chỉ có B sai.

Từ câu trước, $\Delta AOE \backsim \Delta BOD \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {BDO}$ (góc t/ư)

Mà $\widehat {AEO} + \widehat {BEC} = {180^0},$ $\widehat {BDO} + \widehat {ADC} = {180^0}$ nên $\widehat {BEC} = \widehat {ADC}$ hay A đúng.

Dễ thấy D đúng do câu trước.

$\Delta AOE \backsim \Delta BOD \Rightarrow \widehat {EAO} = \widehat {DBO}$(góc t/ư)

Hay $\widehat {CAD} = \widehat {EBC}$ nên B đúng.

Chỉ có C sai.

Ta có: $\dfrac{{AO}}{{BO}} = \dfrac{{36}}{{18}} = 2$, $\dfrac{{OE}}{{OD}} = \dfrac{{18}}{9} = 2$ nên $\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OE}}{{OD}} = 2$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta BOD$ có:

$\widehat {AOE} = \widehat {BOD}$ (đối đỉnh)

$\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OE}}{{OD}}\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta AOE \backsim \Delta BOD\left( {c.g.c} \right)$ nên A sai, B đúng.

Ngoài ra, $\dfrac{{AO}}{{BO}} = \dfrac{{AE}}{{BD}} \Rightarrow \dfrac{{36}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{12}}$ $\Rightarrow AE = \dfrac{{36.12}}{{18}} = 24$ nên C, D sai.

Ta có: $\dfrac{{AO}}{{BO}} = \dfrac{{36}}{{18}} = 2$, $\dfrac{{OE}}{{OD}} = \dfrac{{18}}{9} = 2$ nên $\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OE}}{{OD}} = 2$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta BOD$ có:

$\widehat {AOE} = \widehat {BOD}$ (đối đỉnh)

$\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OE}}{{OD}}\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta AOE \backsim \Delta BOD\left( {c.g.c} \right)$ nên A sai, B đúng.

Ngoài ra, $\dfrac{{AO}}{{BO}} = \dfrac{{AE}}{{BD}} \Rightarrow \dfrac{{36}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{12}}$ $\Rightarrow AE = \dfrac{{36.12}}{{18}} = 24$ nên C, D sai.