Trường hợp đồng dạng thứ hai

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có:

$AB = CD\left( {t/c} \right)$

$AC$ chung

$\widehat {BAC} = \widehat {DCA} = {90^0}$

Suy ra $\Delta ABC = \Delta CDA$ (c-g-c) hay D đúng.

Ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}AB.AC$ $\Rightarrow AH.BC = AB.AC$ $\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat {CAH} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ góc $\widehat C$)

$\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$(cmt)

Suy ra $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$ (cạnh-góc-cạnh) nên A sai.

Ngoài ra, $\Delta ADC = \Delta CBA$ và $\Delta CBA \backsim \Delta CAH$ hay $\Delta ADC \backsim \Delta CAH$ nên B đúng.

Từ $\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:

$\dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}$ (cmt)

Chung $\widehat B$

$\Rightarrow \Delta ABH \backsim \Delta CBA$ (c-g-c)

Mà $\Delta CBA = \Delta ADC$ nên $\Delta ABH \backsim \Delta ADC$ hay C đúng.

Vậy chỉ có A sai.

Ta có:

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{9}{{12}} = \dfrac{3}{4}$, $\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{12}}{{9 + 7}} = \dfrac{3}{4}$$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{3}{4}$

Xét tam giác $ABC$ và $ACD$ có:

Chung $\widehat A$

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}$

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta ACD\left( {c.g.c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADC} = \widehat {BDC}$ (góc tương ứng) (1)

Mà $\Delta BCD$ có: $BC = BD$ nên là tam giác cân $\Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}$.

Lại có: $\widehat {ABC} = \widehat {BCD} + \widehat {BDC} = 2\widehat {BDC}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB}$.

$\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$

Có: $\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PQ}}{{PR}} = \dfrac{4}{4} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{1}{2}.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDF$ ta có:

$\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\,\,\left( {cmt} \right)$$\Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{BA}} = \dfrac{{DF}}{{BC}}$

$\widehat B = \widehat D = {60^0}\;(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta EDF\,\,\,\left( {c - g - c} \right).$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ ta có:

    $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ (theo gt)

     $\widehat A$ chung.

$\Rightarrow \Delta ADE\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (cặp góc tương ứng)

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC$ (định lý Talet đảo)

Ta có:

$\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{6}{{18}} = \dfrac{1}{3}$$\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}$

Xét $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có:

   $\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}$(chứng minh trên)

    $\widehat A\;chung$

$\Rightarrow \Delta ANM\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{CB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{15}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = \dfrac{{15}}{3} = 5\end{array}$

Ta có:

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$, $\dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{9}{{13,5}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{2}{3}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CAD$ có:

   $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}$ (chứng minh trên)

   $\widehat {BAC} = \widehat {ACD}$ (cặp góc so le trong)

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta CAD$ (c – g – c)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{10}}{x} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = \dfrac{{10.3}}{2} = 15\end{array}$

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{3}{2};\,\dfrac{{CB}}{{CA}} = \dfrac{{27}}{{18}} = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{CB}}{{CA}}\end{array}$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta DCA$ có $\widehat C$ chung và $\dfrac{{CA}}{{CD}} = \dfrac{{CB}}{{CA}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên  $\Delta ACB$ $\backsim$ $\Delta DCA$ (c.g.c)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{DA}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} = \dfrac{{12}}{{DA}}\\ \Rightarrow DA = \dfrac{{2.12}}{3} = 8\,cm\end{array}$

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau do$AB{\rm{//CD}}$);

Và $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{20}}{{25}}$).

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (c.g.c).

Vì $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$  (cmt) nên $\widehat A = \widehat {DBC}$.

Ta có $\widehat A = {90^0}$ nên $\widehat {DBC} = {90^0}$. Theo định lí Py-ta-go, ta có

$B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {25^2} - {20^2} = {15^2}.$ Vậy $BC = 15cm.$

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{3}{8};\,\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\end{array}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ABC$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\left( {cmt} \right)$

Nên  $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (c.g.c)

+ Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\left( { = \dfrac{1}{2}} \right)$ nên $\Delta {\rm A}{\rm B}{\rm E}\backsim\Delta ACD\,\left( {c - g - c} \right)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng) và $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{BE}}{{CD}} \Rightarrow AE.CD = AD.BE$ .

+ $\Delta AED$$\backsim$$\Delta ABC$ (cmt) nên $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow AE.AC = AB.AD$.

Nên A, C, D đúng, B sai.

Vì $AD.AH = AB.AK$ $( = {S_{ABCD}})$ nên $\dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}.$

Ta lại có $AB{\rm{//}}CD\,$( vì $ABCD$ là hình bình hành) mà $AK \bot DC \Rightarrow AK \bot AB$$\Rightarrow \widehat {BAK} = 90^\circ.$ 

Từ đó $\widehat {HAK} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {BAH}$ )

Nên $\Delta AKH\backsim\Delta BCA$(c.g.c) $\Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = 40^\circ$ .

Kẻ đường phân giác $AE$  của  $\widehat {BAC}$ . Theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{9}{{16}}$ nên

$\dfrac{{BE + EC}}{{EC}} = \dfrac{{9 + 16}}{{16}}$ hay $\dfrac{{20}}{{EC}} = \dfrac{{25}}{{16}}.$

Suy ra $EC = 12,8\,cm$ .

 Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ECA$ có

$\widehat C$ là góc chung;                                                            

$\dfrac{{AC}}{{CB}} = \dfrac{{EC}}{{CA}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{12,8}}{{16}}$).                                                          

Do đó $\Delta ACB \backsim \Delta ECA$ (c.g.c) suy ra $\widehat B = {\widehat A_2}$, tức là $\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{2}}$.