Cho hình thang cân \(MNPQ\) (\(MN\) //\(PQ\)) có góc \(\widehat {MQP} = {45^0}\) và hai đáy có độ dài \(8cm\), \(30cm\). Diện tích của hình thang cân là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563853550336_55555555.png)
Kẻ \(MH \bot QP;\,NK \bot QP\) tại \(H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK\).
Tứ giác \(MNHK\) có: \(MN{\rm{//}}HK\) nên \(MNHK\) là hình thang, lại có \(MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK\).
(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)
Lại có: \(MQ = NP\) (vì \(MNPQ\) là hình thang cân) suy ra \(\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}\)
Mà \(HK = MN = 8\,cm\) nên \(QH = KP = \dfrac{{30 - 8}}{2} = 11\,cm\).
Mà \(\widehat {MQP} = 45^\circ \Rightarrow \Delta MHQ\) vuông cân tại \(H \Rightarrow MH = QH = 11\,cm\).
Diện tích hình thang cân \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {8 + 30} \right).11}}{2} = 209\,c{m^2}\).
Cho hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB = 3\,cm\), đường cao \(AH = 5cm\) và \(\widehat D = {45^ \circ }\). Độ dài đáy lớn \(CD\) bằng:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563854444168_666666.png)
Ta có: tam giác \(ADH\) vuông cân tại \(D\) vì \(\widehat D = {45^ \circ }\). Do đó \(DH = AH = 5cm\).
Mà \(DH = \)\(\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\). Suy ra \(CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13\left( {cm} \right)\).
Vậy \(CD = 13cm\).
Cho hình thang cân \(ABCD\) đáy nhỏ \(AB = 12cm\), đáy lớn \(CD = 22cm\), cạnh bên \(BC = 13cm\) thì đường cao \(AH\) bằng:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563854765391_7777777.png)
Ta có: \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {22 - 12} \right) = 5\,\,cm\).
Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC = 13cm\).
Áp dụng định lý Py– ta – go vào tam giác \(ADH\) vuông tại \(H\), ta có: \(A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}\).
\( \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} \Rightarrow AH = 12\).
Vậy \(AH = 12cm\) .
Cho hình thang cân \(ABCD\) (\(AB\) //\(CD\)) có hai đường chéo cắt nhau tại \(I\), hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau ở \(K\). Chọn câu sai.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563855105843_88888888.png)
* Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(BDC\) có:
+ \(AD = BC\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)
+ \(AC = BD\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)
+ \(CD\) là cạnh chung
Suy ra \(\Delta ACD = \Delta BDC\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng).
Xét tam giác \(ICD\) có \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (cmt), suy ra tam giác \(ICD\) cân tại\(I\).
Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để \(IC = CD.\)
Tam giác \(KCD\) có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác \(KCD\) cân ở \(K\) nên B đúng.
* Xét tam giác \(KDI\) và tam giác \(KCI\) có:
+ \(KD = KC\) (do \(\Delta KCD\) cân tại \(K\))
+ \(KI\) là cạnh chung
+ \(IC = ID\) (do \(\Delta ICD\) cân tại \(I\))
Suy ra \(\Delta KDI = \Delta KCI\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DKI} = \widehat {CKI}\), do đó \(KI\) là phân giác \(\widehat {AKB}\) nên D đúng.
Ta có: \(AB//CD\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCD};\,\widehat {KBA} = \widehat {KCD}\) (các cặp góc đồng vị bằng nhau)
Mà \(\widehat {KDC} = \widehat {KCD}\) (tính chất hình thang cân) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KBA}\) hay \(\Delta {\rm K}{\rm A}{\rm B}\) cân tại \(K\). Do đó A đúng.
Chọn câu đúng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563856061019_00000000.png)
Xét tam giác \(AMC\) có: \(CM = AC(gt)\) nên tam giác \(AMC\) cân tại \(C\).
Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {AMC\,}\,\,(1)\)
Xét tam giác AMH có: \(\widehat {MAH} = 90^\circ \widehat {- AMH}\) (hai góc phụ nhau) (2)
Xét tam giác ABC vuông tại A: \(\widehat {MAB} = \widehat {BAC} - \widehat {MAC} = 90^\circ - \widehat {MAC}\) (phụ nhau) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra: \(\widehat {MAH} = \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {MAI}\)
Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHM\) và \(\Delta AIM\) có:
AM (cạnh chung)
\(\widehat {MAH} = \widehat {MAI}\) (cmt)
\( \Rightarrow \;\Delta AHM = \Delta AIM\) (cạnh huyền-góc nhọn)
\( \Rightarrow AH = AI\) (hai cạnh tương ứng)
Lại có: \(MI\parallel AC (gt),AC \bot AB (gt) \Rightarrow MI \bot AB\).
Do đó \(BI < BM\,\,(4)\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
Mặt khác:
\(AC = CM (gt) \,(5)\)
\(AI = AH (cmt) \,(6)\)
Cộng (6),(4),(5) vế theo vế ta được:
\(AI + BI + AC < AH + BM + CM\)
\( \Rightarrow AB + AC < AH + BC\).
Chọn câu đúng nhất. Tứ giác \(ACMI\) là hình gì ?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563855882119_00000000.png)
Tứ giác \(ACMI\) có: \(MI//AC\left( {gt} \right)\) và \(\hat A = 90^\circ (gt)\) nên là hình thang vuông.
Chọn câu đúng nhất. Tứ giác \(ACMI\) là hình gì ?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563855882119_00000000.png)
Tứ giác \(ACMI\) có: \(MI//AC\left( {gt} \right)\) và \(\hat A = 90^\circ (gt)\) nên là hình thang vuông.
Hãy chọn câu sai.
+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song nên A đúng.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau nên B sai vì cạnh bên và cạnh đáy chưa chắc bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau nên C đúng.
+ Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông nên D đúng.
Chọn câu đúng nhất.
+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Hình thang $ABCD$ có \(\hat D = {80^0},\hat B = {50^0},\hat C = {100^0}\) . Số đo góc \(\widehat A\) là:
Vì tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^\circ \) nên \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)\( \Rightarrow \widehat A = 360^\circ - 80^\circ - 50^\circ - 100^\circ = 130^\circ .\)
Góc kề cạnh bên của hình thang có số đo là\({70^0}\) . Góc kề còn lại của cạnh bên đó là
Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng \(180^\circ \) nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) .
Cho tứ giác $ABCD$ có \(BC = CD\) và $DB$ là tia phân giác của góc \(D\). Chọn khẳng định đúng
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528698193916_Untitled27.png)
Xét \(\Delta BCD\) có \(BC = CD(gt)\) nên \(\Delta BCD\) là tam giác cân.
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CDB}\)
Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}\)
Do đó \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\)
Mà hai góc \(\widehat {CBD}\) và \(\widehat {ADB}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra \(BC//AD\) .
Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ (cmt) nên là hình thang.
Cho hình thang vuông $ABCD$ có \(\hat A = \hat D = 90^\circ ,\;AB = AD = 2cm,\;DC = 4cm.\) Tính góc \(ABC\) của hình thang.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528698339056_Untitled28.png)
Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc với $CD$.
Tứ giác $ABHD$ là hình thang có hai cạnh bên \(AD{\rm{//}}BH\) nên \(AD = BH,AB = DH\) .
Mặt khác, \(AB = AD = 2cm\) nên suy ra \(BH = DH = 2cm\) .
Do đó: \(HC = DC - HD = 4 - 2 = 2cm\) .
Tam giác $BHC$ có \(BH = HC = 2cm\) nên tam giác $BHC$ cân đỉnh $H$.
Lại có \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) (do $BH \bot CD$) nên tam giác $BHC$ vuông cân tại $H$.
Do đó \(\widehat {BCH} = \left( {180^\circ - \widehat {BHC}} \right):2 = \left( {180^\circ - 90^\circ } \right):2 = 45^\circ \)
Xét hình thang $ABCD$ có:
\(\widehat {ABC} = 360^\circ - \left( {\hat A + \hat D + \hat C} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 45^\circ } \right) = 135^\circ .\)
Vậy \(\widehat {ABC} = 135^\circ \) .
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $D,E$ theo thứ tự thuộc các cạnh bên $AB,AC$ sao cho $AD{\rm{ }} = {\rm{ }}AE$ .
Tứ giác $BDEC$ là hình gì?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528725931721_Untitled29.png)
Tam giác $ADE$ có \(AD = AE(gt)\) nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)\)
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
Mà 2 góc \(\widehat {ADE}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$
Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.
Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $D,E$ theo thứ tự thuộc các cạnh bên $AB,AC$ sao cho $AD{\rm{ }} = {\rm{ }}AE$ .
Tính các góc của hình thang $BDEC$ , biết $\widehat A = {70^o}$ .
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528726082237_Untitled31.png)
Ta có : \(\hat A = 70^\circ \)
Theo ý a) suy ra:
\(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ - \widehat {DAE}} \right):2\;\)\( = (180^\circ - 70^\circ ):2 = 55^\circ \;\;\;\;\;\;\)
Vì \(\widehat {BDE}\) và \(\widehat {ADE}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDE} = 180^\circ - \widehat {ADE} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)$ \Rightarrow \widehat {DEC} = 125^\circ $ (Vì $DEBC$ là hình thang cân)
Vậy \(\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 125^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 55^\circ \) .
Cho tam giác $ABC$. Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$.
Chọn khẳng định đúng nhất?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528726288140_Untitled32.png)
Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$ (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.
Tương tự :
Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt) nên tứ giác $DICB$ là hình thang
Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.
Cho tam giác $ABC$. Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$.
Chọn khẳng định đúng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528726427704_Untitled34.png)
Vì $DE//BC$ (gt) nên suy ra \(\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\) ( so le trong)
Mà \(\widehat {DBI} = \widehat {IBC}\) (gt) nên \(\widehat {DIB} = \widehat {DBI}\)
Suy ra tam giác $BDI$ cân đỉnh $D$.
Do đó \(DI = DB\,\,(1)\)
Ta có: $IE//CB$ nên suy ra \(\widehat {EIC} = \widehat {BCI}\) ( so le trong)
Mà \(\widehat {BCI} = \widehat {ECI}\) (gt) nên \(\widehat {ECI} = \widehat {EIC}\)
Suy ra tam giác $EIC$ cân đỉnh $E$.
Do đó \(EI = EC\,\,(2)\).
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE\)
Cho hình thang cân $MNPQ$ ($MN$ //$PQ$ ) có góc $\widehat {MQP} = {45^0}$ và hai đáy có độ dài$12cm$ ,$40cm$ . Diện tích của hình thang cân là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528726711142_Untitled35.png)
Kẻ \(MH \bot QP;\,NK \bot QP\) tại \(H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK\)
Tứ giác \(MNHK\) có \(MN{\rm{//}}HK\) nên \(MNHK\) là hình thang , lại có \(MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK\) .
(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)
Lại có \(MQ = NP\) (vì \(MNPQ\) là hình thang cân) suy ra \(\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}\)
Mà \(HK = MN = 12\,cm\) nên \(QH = KP = \dfrac{{40 - 12}}{2} = 14\,cm\).
Mà \(\widehat {MQP} = 45^\circ \Rightarrow \Delta MHQ\) vuông cân tại \(H \Rightarrow MH = QH = 14\,cm\) .
Diện tích hình thang cân \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {12 + 40} \right).14}}{2} = 364\,c{m^2}\) .
Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ$AB = 4\,cm$ , đường cao $AH = 6cm$ , và \(\widehat D = {45^ \circ }\). Độ dài đáy lớn $CD$ bằng
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528726839287_Untitled36.png)
Ta có tam giác $ADH$ vuông cân tại $H$ vì $\widehat D = {45^ \circ }$. Do đó $DH = AH = 6cm$
Mà $DH = $\(\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\) . Suy ra $CD = 2DH + AB = 12 + 4 = 16\left( {cm} \right)$
Vậy $CD = 16cm$ .
Cho hình thang cân $ABCD$ đáy nhỏ $AB = 4cm$ , đáy lớn $CD = 10cm$ , cạnh bên $BC = 5cm$ thì đường cao $AH$ bằng:
Kẻ $ BK \bot DC$ tại $K.$
Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có \(\widehat D = \widehat C;AD = BC \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow DH = CK\)
Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\)
Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {10 - 4} \right) = 3\,\,cm\)
Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 5cm$
Áp dụng định lý Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$ ta có $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$
$ \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AH = 4$
Vậy $AH = 4cm$ .