Hình thang

Kẻ \(MH \bot QP;\,NK \bot QP\) tại \(H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK\).

Tứ giác \(MNHK\) có: \(MN{\rm{//}}HK\) nên \(MNHK\) là hình thang, lại có \(MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK\).

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có: \(MQ = NP\) (vì \(MNPQ\) là hình thang cân) suy ra \(\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}\)

Mà \(HK = MN = 8\,cm\) nên \(QH = KP = \dfrac{{30 - 8}}{2} = 11\,cm\).

Mà \(\widehat {MQP} = 45^\circ  \Rightarrow \Delta MHQ\) vuông cân tại \(H \Rightarrow MH = QH = 11\,cm\).

Diện tích hình thang cân \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {8 + 30} \right).11}}{2} = 209\,c{m^2}\).

Ta có: tam giác \(ADH\) vuông cân tại \(D\) vì \(\widehat D = {45^ \circ }\). Do đó \(DH = AH = 5cm\).

Mà \(DH = \)\(\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\). Suy ra \(CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13\left( {cm} \right)\).

Vậy \(CD = 13cm\).

Ta có: \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {22 - 12} \right) = 5\,\,cm\).

Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC = 13cm\).

Áp dụng định lý  Py– ta – go vào tam giác \(ADH\) vuông tại \(H\), ta có: \(A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}\).

\( \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} \Rightarrow AH = 12\).

Vậy \(AH = 12cm\) .

* Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(BDC\) có:

+ \(AD = BC\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)

+ \(AC = BD\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)

+ \(CD\) là cạnh chung

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta BDC\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng).

Xét tam giác \(ICD\) có \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (cmt), suy ra tam giác \(ICD\) cân tại\(I\).

Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để \(IC = CD.\)

Tam giác \(KCD\) có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác \(KCD\) cân ở \(K\) nên B đúng.

* Xét tam giác \(KDI\) và tam giác \(KCI\) có:

+ \(KD = KC\) (do \(\Delta KCD\) cân tại \(K\))

+ \(KI\) là cạnh chung

+ \(IC = ID\) (do \(\Delta ICD\) cân tại \(I\))

Suy ra \(\Delta KDI = \Delta KCI\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DKI} = \widehat {CKI}\), do đó \(KI\) là phân giác \(\widehat {AKB}\) nên D đúng.

Ta có: \(AB//CD\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCD};\,\widehat {KBA} = \widehat {KCD}\) (các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Mà \(\widehat {KDC} = \widehat {KCD}\) (tính chất hình thang cân) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KBA}\) hay \(\Delta {\rm K}{\rm A}{\rm B}\) cân tại \(K\). Do đó A đúng.

Xét tam giác \(AMC\) có: \(CM = AC(gt)\) nên tam giác \(AMC\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {AMC\,}\,\,(1)\)

Xét tam giác AMH có: \(\widehat {MAH} = 90^\circ \widehat {- AMH}\) (hai góc phụ nhau) (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A: \(\widehat {MAB} = \widehat {BAC} - \widehat {MAC} = 90^\circ  - \widehat {MAC}\) (phụ nhau) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: \(\widehat {MAH} = \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {MAI}\)

Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHM\) và \(\Delta AIM\) có:

AM (cạnh chung)

\(\widehat {MAH} = \widehat {MAI}\) (cmt)

\( \Rightarrow \;\Delta AHM = \Delta AIM\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\( \Rightarrow AH = AI\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có: \(MI\parallel AC (gt),AC \bot AB (gt) \Rightarrow MI \bot AB\).

Do đó \(BI < BM\,\,(4)\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mặt khác:

\(AC = CM (gt) \,(5)\)

\(AI = AH (cmt) \,(6)\)

Cộng (6),(4),(5) vế theo vế ta được:

\(AI + BI + AC < AH + BM + CM\)

\( \Rightarrow AB + AC < AH + BC\).

Tứ giác \(ACMI\) có: \(MI//AC\left( {gt} \right)\) và \(\hat A = 90^\circ (gt)\) nên là hình thang vuông.

Tứ giác \(ACMI\) có: \(MI//AC\left( {gt} \right)\) và \(\hat A = 90^\circ (gt)\) nên là hình thang vuông.

+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song nên A đúng.

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau nên B sai vì cạnh bên và cạnh đáy chưa chắc bằng nhau.

+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau nên C đúng.

+ Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông nên D đúng.

+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^\circ \) nên \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)\( \Rightarrow \widehat A = 360^\circ  - 80^\circ  - 50^\circ  - 100^\circ  = 130^\circ .\) 

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng \(180^\circ \) nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng \(180^\circ  - 70^\circ  = 110^\circ \) .

Xét \(\Delta BCD\) có \(BC = CD(gt)\) nên \(\Delta BCD\) là tam giác cân.

Suy ra  \(\widehat {CBD} = \widehat {CDB}\)

Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên  \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}\)

Do đó  \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\)

Mà hai góc  \(\widehat {CBD}\)  và \(\widehat {ADB}\)  là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra \(BC//AD\) .

Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$  (cmt) nên là hình thang.

Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc với $CD$.

Tứ giác $ABHD$ là hình thang có hai cạnh bên \(AD{\rm{//}}BH\) nên \(AD = BH,AB = DH\) .

Mặt khác, \(AB = AD = 2cm\) nên suy ra \(BH = DH = 2cm\) .

Do đó: \(HC = DC - HD = 4 - 2 = 2cm\) .

Tam giác $BHC$ có \(BH = HC = 2cm\)  nên tam giác $BHC$ cân đỉnh $H$.

Lại có  \(\widehat {BHC} = 90^\circ \)  (do $BH \bot CD$) nên tam giác $BHC$ vuông cân tại $H$.

Do đó  \(\widehat {BCH} = \left( {180^\circ  - \widehat {BHC}} \right):2 = \left( {180^\circ  - 90^\circ } \right):2 = 45^\circ \)

Xét hình thang $ABCD$ có:

\(\widehat {ABC} = 360^\circ  - \left( {\hat A + \hat D + \hat C} \right) = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 45^\circ } \right) = 135^\circ .\) 

Vậy \(\widehat {ABC} = 135^\circ \) .

Tam giác $ADE$ có \(AD = AE(gt)\) nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)\)

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà 2 góc  \(\widehat {ADE}\) và  \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) ) nên \(BDEC\) là hình thang cân.

Ta có :  \(\hat A = 70^\circ \)

Theo ý a) suy ra:

\(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\)\( = (180^\circ  - 70^\circ ):2 = 55^\circ \;\;\;\;\;\;\)

Vì \(\widehat {BDE}\) và  \(\widehat {ADE}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} = 180^\circ  - 55^\circ  = 125^\circ \)$ \Rightarrow \widehat {DEC} = 125^\circ $   (Vì $DEBC$ là hình thang cân)

Vậy \(\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 125^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 55^\circ \) .

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Vì $DE//BC$ (gt)  nên suy ra  \(\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\)  ( so le trong)

Mà  \(\widehat {DBI} = \widehat {IBC}\)  (gt) nên  \(\widehat {DIB} = \widehat {DBI}\)

Suy ra tam giác $BDI$ cân đỉnh $D$.

Do đó \(DI = DB\,\,(1)\)

Ta có: $IE//CB$ nên suy ra  \(\widehat {EIC} = \widehat {BCI}\)  ( so le trong)

Mà  \(\widehat {BCI} = \widehat {ECI}\)  (gt) nên  \(\widehat {ECI} = \widehat {EIC}\)

Suy ra tam giác $EIC$ cân đỉnh $E$.

Do đó \(EI = EC\,\,(2)\).

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta  được:

\(DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE\)

Kẻ \(MH \bot QP;\,NK \bot QP\) tại \(H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK\)

Tứ giác \(MNHK\) có \(MN{\rm{//}}HK\)  nên \(MNHK\) là hình thang , lại có \(MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK\) .

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có \(MQ = NP\) (vì \(MNPQ\) là hình thang cân) suy ra \(\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}\)

Mà \(HK = MN = 12\,cm\) nên \(QH = KP = \dfrac{{40 - 12}}{2} = 14\,cm\).

Mà \(\widehat {MQP} = 45^\circ  \Rightarrow \Delta MHQ\) vuông cân tại \(H \Rightarrow MH = QH = 14\,cm\) .

Diện tích hình thang cân \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {12 + 40} \right).14}}{2} = 364\,c{m^2}\) .

Ta có tam giác $ADH$ vuông cân tại $H$ vì $\widehat D = {45^ \circ }$. Do đó $DH = AH = 6cm$

Mà $DH = $\(\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\) . Suy ra $CD = 2DH + AB = 12 + 4 = 16\left( {cm} \right)$

Vậy $CD = 16cm$ .

Kẻ $ BK \bot DC$ tại $K.$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có  \(\widehat D = \widehat C;AD = BC \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow DH = CK\)

Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\)

Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {10 - 4} \right) = 3\,\,cm\)

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 5cm$

Áp dụng định lý  Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$ ta có $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$

$ \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AH = 4$

Vậy $AH = 4cm$ .