Hình thang

Kẻ $MH \bot QP;\,NK \bot QP$ tại $H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK$.

Tứ giác $MNHK$ có: $MN{\rm{//}}HK$ nên $MNHK$ là hình thang, lại có $MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK$.

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có: $MQ = NP$ (vì $MNPQ$ là hình thang cân) suy ra $\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)$$\Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}$

Mà $HK = MN = 8\,cm$ nên $QH = KP = \dfrac{{30 - 8}}{2} = 11\,cm$.

Mà $\widehat {MQP} = 45^\circ  \Rightarrow \Delta MHQ$ vuông cân tại $H \Rightarrow MH = QH = 11\,cm$.

Diện tích hình thang cân $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {8 + 30} \right).11}}{2} = 209\,c{m^2}$.

Ta có: tam giác $ADH$ vuông cân tại $D$ vì $\widehat D = {45^ \circ }$. Do đó $DH = AH = 5cm$.

Mà $DH =$$\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)$. Suy ra $CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13\left( {cm} \right)$.

Vậy $CD = 13cm$.

Ta có: $DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {22 - 12} \right) = 5\,\,cm$.

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 13cm$.

Áp dụng định lý  Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$, ta có: $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$.

$\Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} \Rightarrow AH = 12$.

Vậy $AH = 12cm$ .

* Xét tam giác $ACD$ và tam giác $BDC$ có:

+ $AD = BC$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

+ $AC = BD$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

+ $CD$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta ACD = \Delta BDC$ (c.c.c). Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng).

Xét tam giác $ICD$ có $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ (cmt), suy ra tam giác $ICD$ cân tại$I$.

Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để $IC = CD.$

Tam giác $KCD$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác $KCD$ cân ở $K$ nên B đúng.

* Xét tam giác $KDI$ và tam giác $KCI$ có:

+ $KD = KC$ (do $\Delta KCD$ cân tại $K$)

+ $KI$ là cạnh chung

+ $IC = ID$ (do $\Delta ICD$ cân tại $I$)

Suy ra $\Delta KDI = \Delta KCI$ (c.c.c). Suy ra $\widehat {DKI} = \widehat {CKI}$, do đó $KI$ là phân giác $\widehat {AKB}$ nên D đúng.

Ta có: $AB//CD$ (do $ABCD$ là hình thang) nên $\widehat {KAB} = \widehat {KCD};\,\widehat {KBA} = \widehat {KCD}$ (các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Mà $\widehat {KDC} = \widehat {KCD}$ (tính chất hình thang cân) nên $\widehat {KAB} = \widehat {KBA}$ hay $\Delta {\rm K}{\rm A}{\rm B}$ cân tại $K$. Do đó A đúng.

Xét tam giác $AMC$ có: $CM = AC(gt)$ nên tam giác $AMC$ cân tại $C$.

Suy ra $\widehat {MAC} = \widehat {AMC\,}\,\,(1)$

Xét tam giác AMH có: $\widehat {MAH} = 90^\circ \widehat {- AMH}$ (hai góc phụ nhau) (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A: $\widehat {MAB} = \widehat {BAC} - \widehat {MAC} = 90^\circ  - \widehat {MAC}$ (phụ nhau) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: $\widehat {MAH} = \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {MAI}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHM$ và $\Delta AIM$ có:

AM (cạnh chung)

$\widehat {MAH} = \widehat {MAI}$ (cmt)

$\Rightarrow \;\Delta AHM = \Delta AIM$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AH = AI$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có: $MI\parallel AC (gt),AC \bot AB (gt) \Rightarrow MI \bot AB$.

Do đó $BI < BM\,\,(4)$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mặt khác:

$AC = CM (gt) \,(5)$

$AI = AH (cmt) \,(6)$

Cộng (6),(4),(5) vế theo vế ta được:

$AI + BI + AC < AH + BM + CM$

$\Rightarrow AB + AC < AH + BC$.

Tứ giác $ACMI$ có: $MI//AC\left( {gt} \right)$ và $\hat A = 90^\circ (gt)$ nên là hình thang vuông.

Tứ giác $ACMI$ có: $MI//AC\left( {gt} \right)$ và $\hat A = 90^\circ (gt)$ nên là hình thang vuông.

+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song nên A đúng.

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau nên B sai vì cạnh bên và cạnh đáy chưa chắc bằng nhau.

+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau nên C đúng.

+ Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông nên D đúng.

+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$ nên $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$$\Rightarrow \widehat A = 360^\circ  - 80^\circ  - 50^\circ  - 100^\circ  = 130^\circ .$ 

Vì tổng hai góc kề cạnh bên của hình thang bằng $180^\circ$ nên góc kề còn lại của cạnh bên đó có số đo bằng $180^\circ  - 70^\circ  = 110^\circ$ .

Xét $\Delta BCD$ có $BC = CD(gt)$ nên $\Delta BCD$ là tam giác cân.

Suy ra  $\widehat {CBD} = \widehat {CDB}$

Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên  $\widehat {ADB} = \widehat {CDB}$

Do đó  $\widehat {CBD} = \widehat {ADB}$

Mà hai góc  $\widehat {CBD}$  và $\widehat {ADB}$  là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra $BC//AD$ .

Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$  (cmt) nên là hình thang.

Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc với $CD$.

Tứ giác $ABHD$ là hình thang có hai cạnh bên $AD{\rm{//}}BH$ nên $AD = BH,AB = DH$ .

Mặt khác, $AB = AD = 2cm$ nên suy ra $BH = DH = 2cm$ .

Do đó: $HC = DC - HD = 4 - 2 = 2cm$ .

Tam giác $BHC$ có $BH = HC = 2cm$  nên tam giác $BHC$ cân đỉnh $H$.

Lại có  $\widehat {BHC} = 90^\circ$  (do $BH \bot CD$) nên tam giác $BHC$ vuông cân tại $H$.

Do đó  $\widehat {BCH} = \left( {180^\circ  - \widehat {BHC}} \right):2 = \left( {180^\circ  - 90^\circ } \right):2 = 45^\circ$

Xét hình thang $ABCD$ có:

$\widehat {ABC} = 360^\circ  - \left( {\hat A + \hat D + \hat C} \right) = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 45^\circ } \right) = 135^\circ .$ 

Vậy $\widehat {ABC} = 135^\circ$ .

Tam giác $ADE$ có $AD = AE(gt)$ nên tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;\left( 1 \right)$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {BAC}} \right):2\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Mà 2 góc  $\widehat {ADE}$ và  $\widehat {ABC}$ là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $DE{\rm{//}}BC$

Tứ giác $BDEC$ có DE // BC nên tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ ) nên $BDEC$ là hình thang cân.

Ta có :  $\hat A = 70^\circ$

Theo ý a) suy ra:

$\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \left( {180^\circ  - \widehat {DAE}} \right):2\;$$= (180^\circ  - 70^\circ ):2 = 55^\circ \;\;\;\;\;\;$

Vì $\widehat {BDE}$ và  $\widehat {ADE}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {BDE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} = 180^\circ  - 55^\circ  = 125^\circ$$\Rightarrow \widehat {DEC} = 125^\circ$   (Vì $DEBC$ là hình thang cân)

Vậy $\widehat {BDE} = \widehat {DEC} = 125^\circ ;\,\widehat {DBC} = \widehat {ECB} = 55^\circ$ .

Xét tứ giác $DECB$ có: $DE//BC$  (gt) nên tứ giác $DECB$ là hình thang.

Tương tự :

Tứ giác $DICBS$ có $DI//BC$ (gt)   nên tứ giác $DICB$ là hình thang

Tứ giác $IECB$ có $IE//CB$ (gt) nên tứ giác $IECB$ là hình thang.

Vì $DE//BC$ (gt)  nên suy ra  $\widehat {DIB} = \widehat {IBC}$  ( so le trong)

Mà  $\widehat {DBI} = \widehat {IBC}$  (gt) nên  $\widehat {DIB} = \widehat {DBI}$

Suy ra tam giác $BDI$ cân đỉnh $D$.

Do đó $DI = DB\,\,(1)$

Ta có: $IE//CB$ nên suy ra  $\widehat {EIC} = \widehat {BCI}$  ( so le trong)

Mà  $\widehat {BCI} = \widehat {ECI}$  (gt) nên  $\widehat {ECI} = \widehat {EIC}$

Suy ra tam giác $EIC$ cân đỉnh $E$.

Do đó $EI = EC\,\,(2)$.

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta  được:

$DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE$

Kẻ $MH \bot QP;\,NK \bot QP$ tại $H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK$

Tứ giác $MNHK$ có $MN{\rm{//}}HK$  nên $MNHK$ là hình thang , lại có $MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK$ .

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có $MQ = NP$ (vì $MNPQ$ là hình thang cân) suy ra $\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)$$\Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}$

Mà $HK = MN = 12\,cm$ nên $QH = KP = \dfrac{{40 - 12}}{2} = 14\,cm$.

Mà $\widehat {MQP} = 45^\circ  \Rightarrow \Delta MHQ$ vuông cân tại $H \Rightarrow MH = QH = 14\,cm$ .

Diện tích hình thang cân $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {12 + 40} \right).14}}{2} = 364\,c{m^2}$ .

Ta có tam giác $ADH$ vuông cân tại $H$ vì $\widehat D = {45^ \circ }$. Do đó $DH = AH = 6cm$

Mà $DH =$$\dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)$ . Suy ra $CD = 2DH + AB = 12 + 4 = 16\left( {cm} \right)$

Vậy $CD = 16cm$ .

Kẻ $BK \bot DC$ tại $K.$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có  $\widehat D = \widehat C;AD = BC \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow DH = CK$

Suy ra $DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)$

Suy ra $DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {10 - 4} \right) = 3\,\,cm$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 5cm$

Áp dụng định lý  Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$ ta có $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$

$\Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AH = 4$

Vậy $AH = 4cm$ .