Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(AC = 20{\rm{cm}}\), \(BC = 24{\rm{cm}}\), các đường cao \(AD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(H\). Độ dài \(AH\) là:

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(BD = DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Theo định lý Py-ta-go, ta có: \(A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {20^2} - {12^2} = {16^2}\) nên \(AD = 16{\rm{cm}}\).

Xét \(\Delta CDH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {CDH} = \widehat {ADB} = {90^o}\).

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat B\)).

Do đó \(\Delta CDH\backsim\Delta ADB\) (g.g)

Nên \(\dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{{HC}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{AD}}\), tức là \(\dfrac{{HD}}{{12}} = \dfrac{{HC}}{{20}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra \(HD = 9{\rm{cm}}\)\( \Rightarrow AH = AD - HD = 16 - 9 = 7cm\).