Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AC\) và đường vuông góc với \(BC\) tại \(E\).

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat C\) chung và \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên \(\Delta AHC\backsim\Delta BAC\,\left( {g - g} \right)\)

Ta có: \({S_{DEC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\) (1), \({S_{AHC}}:{S_{BAC}} = \dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{9}{{9 + 3,5}} = \dfrac{{18}}{{25}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \({S_{DEC}}:{S_{AHC}} = \dfrac{1}{2}:\dfrac{{18}}{{25}} = \dfrac{{25}}{{36}} = {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^2}\)  (3).

Vì \(DE{\rm{//}}AH\) (cùng vuông với \(BC\)) suy ra \(\Delta DEC\backsim\Delta AHC\) nên \({S_{DEC}}:{S_{AHC}} = {\left( {\dfrac{{EC}}{{HC}}} \right)^2}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{{EC}}{{HC}} = \dfrac{5}{6}\) tức là \(\dfrac{{EC}}{9} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow EC = 7,5\,{\rm{cm}}\).

Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)

Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) 

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\)

+  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$  ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)

+ Vì $BD$  là đường phân giác của tam giác $ABC$  nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

\(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD \)\(= 8 - 3 = 5\;cm\)

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Xét $2$  tam giác vuông $AHB$  và $CHA$  có: \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \) (I) đúng.

Xét $2$  tam giác vuông $AHC$  và $BAC$  có:

    \(\widehat C\) chung

\( \Rightarrow \Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \) (II) đúng.

Vậy cả (I) và (II) đều đúng.

Vì $\Delta DHE\backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$ nên tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$ và tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}$

Do đó (I) và (IV) đúng, (II) và (III) sai.

Kẻ đường cao $AD$ . Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta ABD\) có \(\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) chung nên

$\Delta CBE\backsim\Delta ABD$ (g.g) $ \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}$ hay $\dfrac{{24}}{{AB}} = \dfrac{9}{{12}}$

$ \Rightarrow AB = 32{\rm{cm}}$.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông  $ABC$  ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}\)

Xét 2 tam giác vuông $ABC$  và $HBA$  có: \(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm\)

Mặt khác:

\(\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm\)

Nên \(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm\) .

Tam giác $ABC$  cân tại $A$  nên $BD = DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Theo định lý Py-ta-go, ta có $A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {20^2} - {12^2} = {16^2}$ nên $AD = 16{\rm{cm}}$.

Xét $\Delta CDH$ và $\Delta ADB$ có

$\widehat {CDH} = \widehat {ADB} = {90^o}$ .

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}$ (cùng phụ với $\widehat B$).

Do đó  \(\Delta CDH\backsim\Delta ADB\) (g.g)

Nên $\dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{{HC}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{AD}}$, tức là $\dfrac{{HD}}{{12}} = \dfrac{{HC}}{{20}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4}$

Suy ra $HD = 9{\rm{cm}}$.

Xét 2 tam giác vuông \(\Delta ADO\)\((\widehat {DAO} = {90^0})\) và \(\Delta ECO\)\((\widehat {CEO} = {90^0})\) ta có:

     \(\widehat {AOD} = \widehat {EOC}\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ADO\backsim\Delta ECO\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{DO}}{{CO}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4.6}}{5} = 4,8\)

Vì \(\Delta ADO\) vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} + A{O^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow A{O^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow AO = 3\end{array}\)

Xét 2 tam giác vuông \(\Delta CEO\;(\widehat {CEO} = {90^0})\) và \(\Delta CAB\;(\widehat {CAB} = {90^0})\) có:\(\widehat C\) chung

\( \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CB}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{CO}}{{CE + EB}} = \dfrac{{CE}}{{CO + OA}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{4,8 + y}} = \dfrac{{4,8}}{{6 + 3}} \Leftrightarrow y = 6,45\)   

Vậy \(x = 4,8;\;y = 6,45\).

Ta có: \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)

Mà: \(\widehat {HBA} + \widehat {HAB} = {90^0}\) (2 góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) 

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HBA}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} \Leftrightarrow A{H^2} = HB.HC\)

Với $BH = 9cm,HC = 16cm$ .

\( \Rightarrow BC = BH + HC \)\(= 9 + 16 = 25\;cm\)

Ta có: \(A{H^2} = HB.HC\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = 9.16 = 144\\ \Rightarrow AH = 12\;cm\end{array}\)

Nên diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.12.25 = 150\,c{m^2}\) .

+  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$  ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 100\\ \Rightarrow BC = 10\;cm\end{array}\)

+ Vì $BD$  là đường phân giác của tam giác $ABC$  nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

\(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CA - AD}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{8 - AD}}\\ \Rightarrow AD = 3\;cm\\ \Rightarrow DC = AC - AD \)\(= 8 - 3 = 5\;cm\)

Xét 2 tam giác vuông $ABD$ và $HBI$ có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {HBI}\) ($BD$  là tia phân giác của góc $B$ )

\( \Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta HBI\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}\)\( \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\;\)

Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAF}\) (vì AD là tia phân giác của góc A)

\( \Rightarrow \Delta ABE\backsim\Delta ACF\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\;(1)\)

Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:

\(\widehat {EDB} = \widehat {FDC}\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BDE\backsim\Delta CDF\)(g – g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\;(2)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} \Leftrightarrow AE.DF = AF.DE\) (đpcm)

Gọi $D$ là giao điểm của $AC$ và đường vuông góc với $BC$ tại $E$.

Xét \(\Delta AHC\)  và \(\Delta ABC\) có \(\widehat C\) chung và \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)  nên \(\Delta AHC\backsim\Delta BAC\,\left( {g - g} \right)\)

Ta có ${S_{DEC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}$ (1), ${S_{AHC}}:{S_{ABC}} = \dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{{18}}{{25}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ${S_{DEC}}:{S_{AHC}} = \dfrac{1}{2}:\dfrac{{18}}{{25}} = \dfrac{{25}}{{36}} = {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^2}$  (3).

Vì \(DE{\rm{//}}AH\) (cùng vuông với \(BC\) ) suy ra $\Delta DEC\backsim\Delta AHC$ nên ${S_{DEC}}:{S_{AHC}} = {\left( {\dfrac{{EC}}{{HC}}} \right)^2}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{{EC}}{{HC}} = \dfrac{5}{6}$ tức là $\dfrac{{EC}}{{18}} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow EC = 15\,{\rm{cm}}$.