Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Các phương trình $\dfrac{x}{7} + 3 = 0$;$15 - 6x = 3x + 5$; $x = 3x + 2$ là các phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình $(x - 1)(x + 2) = 0$$\Leftrightarrow x^2+x-2=0$ không là phươnng trình bậc nhất một ẩn.

Ta có $x - 12 = 6 - x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + x = 6 + 12\\ \Leftrightarrow 2x = 18\\ \Leftrightarrow x = 18:2\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 9$ .

Ta có $2x - 1 = 7$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = 7 + 1\\ \Leftrightarrow 2x = 8\\ \Leftrightarrow x = 8:2\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}$

Vậy $x = 4$ là nghiệm của phương trình.

Ta có

$\begin{array}{l}2x - 3 = 12 - 3x\\ \Leftrightarrow 2x + 3x = 12 + 3\\ \Leftrightarrow 5x = 15\\ \Leftrightarrow x = 15:5\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 3$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = 2\\ \Leftrightarrow x = 2:2\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Thay $x = 1$ vào $5{x^2} - 2$ ta được: ${5.1^2} - 2 = 5 - 2 = 3$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x + 15 = 17\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = 17 - 15\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = 2\\ \Leftrightarrow x = 2:\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}$

Thay $x = 4$ vào $\left( {5{x^2} + 1} \right)\left( {2x - 8} \right)$ ta được:$\left( {{{5.4}^2} + 1} \right)\left( {2.4 - 8} \right) = \left( {{{5.4}^2} + 1} \right).0 = 0$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| {3x + 6} \right| - 3 = 3 \Leftrightarrow \left| {3x + 6} \right| = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 6 = 6\\3x + 6 =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\3x =  - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \left( { - 4} \right) =  - 4$.

$\begin{array}{l}2\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 6 + 5{x^2} - 5x = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5{x^2} + 2x - 5x = 6\\ \Leftrightarrow  - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

Vậy  nghiệm của phương trình là ${x_0} =  - 2 >  - 3$.

Để $A = B$ thì:

$\begin{array}{l}\dfrac{{4x + 3}}{5} - \dfrac{{6x - 2}}{7} = \dfrac{{5x + 4}}{3} + 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{21\left( {4x + 3} \right) - 15\left( {6x - 2} \right)}}{{105}} = \dfrac{{35\left( {5x + 4} \right) + 3.105}}{{105}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{84x + 63 - 90x + 30}}{{105}} = \dfrac{{175x + 455}}{{105}}\\ \Leftrightarrow 84x + 63 - 90x + 30 = 175x + 455\\ \Leftrightarrow 84x - 90x - 175x = 455 - 30 - 63\\ \Leftrightarrow  - 181x = 362\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

Vậy để $A = B$ thì $x =  - 2$.

Ta có $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{12}} = \dfrac{{36}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 6 + 3x + 9}}{{12}} = \dfrac{{36 - 4x - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow 9x + 15 = 28 - 4x\\ \Leftrightarrow 9x + 4x = 28 - 15\\ \Leftrightarrow 13x = 13\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ là số nguyên dương .

+ Ta có

$\begin{array}{l}7\left( {x - 1} \right) = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7 = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7x = 13 + 7\\ \Leftrightarrow 0 = 20\,\left( {VL} \right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lại có:

$\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 2x + 2\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2x + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - {x^2} - 2x - 2x = 4 - 4\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}$

Điều này luôn đúng với mọi $x \in R$.

Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm.

$\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2(*)$

Xét ${m^2} - 3m + 2 = 0$$\Leftrightarrow {m^2} - m - 2m + 2 = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m - 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$

+ Nếu $m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 1$. Điều này vô lí. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

+ Nếu $m = 2 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 0$ điều này đúng với mọi $x \in R$.

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Ta có ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$

$\Leftrightarrow {x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^3} - x + 4 + \left( {x - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 1} \right) - x + 4 + x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + 2 - x + 4 + x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x + x} \right) + \left( {2 + 2 + 4 - 4} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Suy ra ${x_1} = 1$ .

+ Ta có $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{10x}}{{10}} + \dfrac{{5\left( {2x - 7} \right)}}{{10}} = \dfrac{{50}}{{10}} - \dfrac{{5\left( {x + 6} \right)}}{{10}} + \dfrac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{10}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{10x + 10x - 35}}{{10}} = \dfrac{{50 - 5x - 30 + 6x + 2}}{{10}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 20x - 35 = x + 22\\ \Leftrightarrow 20x - x = 22 + 35\\ \Leftrightarrow 19x = 57\\ \Leftrightarrow x = 57:19\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Suy ra ${x_2} = 3$ .

Nên ${x_1}.{x_2} = 1.3 = 3$ .

Xét phương trình $\left( {3m - 4} \right)x + m = 3{m^2} + 1$ có $a = 3m - 4$

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì

 $\begin{array}{l}a \ne 0 \Leftrightarrow 3m - 4 \ne 0\\ \Leftrightarrow 3m \ne 4 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{4}{3}\end{array}$

Vậy $m \ne \dfrac{4}{3}$ .

Ta có $\dfrac{{x - 12}}{{77}} + \dfrac{{x - 11}}{{78}}$$= \dfrac{{x - 74}}{{15}} + \dfrac{{x - 73}}{{16}}$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 12}}{{77}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 11}}{{78}} - 1} \right)$$= \left( {\dfrac{{x - 74}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73}}{{16}} - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 12 - 77}}{{77}}} \right) + \left( {\dfrac{{x - 11 - 78}}{{78}}} \right)$$= \left( {\dfrac{{x - 74 - 15}}{{15}}} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73 - 16}}{{16}}} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 89}}{{77}} + \dfrac{{x - 89}}{{78}} - \dfrac{{x - 89}}{{15}} - \dfrac{{x - 89}}{{16}} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 89} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0$

Nhận thấy $\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} \ne 0$  nên $\left( {x - 89} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 89 = 0 \Leftrightarrow x = 89$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} +3=0\\\Leftrightarrow\left( {\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + b}}{{a + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + c}}{{a + b}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + a + b + c = 0\\ \Leftrightarrow x =  - \left( {a + b + c} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - \left( {a + b + c} \right)$.