Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
Ta có \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) \)\(= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\)
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
Ta có \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\)
Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
Ta có
\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy \(x = - 1\)
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 15\)$ \Leftrightarrow {x^3} + {2^3} - \left( {{x^3} - 2x} \right) = 14 $$\Leftrightarrow {x^3} + 8 - {x^3} + 2x = 14$
$ \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.
Vậy \(x = 3\) .
Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)
Ta có \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\)\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\)
Thay \(x = 1001\) vào \(A = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\) ta được \(A = {\left( {1001 - 1} \right)^3} + 1 \) suy ra \(A= {1000^3} + 1\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Giá trị của biểu thức \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là
Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \)\(\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \)\(= {\left( {x + y} \right)^3} - \left( {3{x^2}y + 3x{y^2}} \right)\)\( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\)
Và \({\left( {x + y} \right)^2} \)\(= {x^2} + 2xy + {y^2} \)\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \)\(= {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\)
Khi đó \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\( = - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]\)
Vì \(x + y = 1\) nên ta có \(P = - 2\left( {1 - 3xy} \right) + 3\left( {1 - 2xy} \right) \)\(= - 2 + 6xy + 3 - 6xy = 1\)
Vậy \(P = 1.\)
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)
Chọn câu đúng.
Ta có \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\)\( = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)\)
\( = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9= - 8\) nên \(P = - 8\)
+ \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x\)
\( = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x = - 8\)\( \Rightarrow Q = - 8\)
Vậy \(P = Q\) .
Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:
Ta có \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\)\( = {x^3} + 1 - \left( {{x^3} - 1} \right) \)\(= {x^3} + 1 - {x^3} + 1 = 2\)
Vậy \(E = 2\) .
Cho \(a + b + c = 0\) . Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng
Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Từ đó \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\)\( = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)
\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)
Mà \(a + b + c = 0\) nên \(B = 0.\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab.0 = 0\)
Vậy \(B = 0\) .
Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó
Ta có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)
\( = \left( {{1^3} + {{10}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {9^3}} \right) + \left( {{3^3} + {8^3}} \right) + \left( {{4^3} + {7^3}} \right) + \left( {{5^3} + {6^3}} \right)\)
\( = 11\left( {{1^2} - 10 + {{10}^2}} \right) + 11\left( {{2^2} - 2.9 + {9^2}} \right) + ... + 11\left( {{5^2} - 5.6 + {6^2}} \right)\)
Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(11\) nên \(A\, \vdots \,11.\)
Lại có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)
\( = \left( {{1^3} + {9^3}} \right) + \left( {{2^3} + {8^3}} \right) + \left( {{3^3} + {7^3}} \right) + \left( {{4^3} + {6^3}} \right) + \left( {{5^3} + {{10}^3}} \right)\)
\( = 10\left( {{1^2} - 9 + {9^2}} \right) + 10\left( {{2^2} - 2.8 + {8^2}} \right) + ... + {5^3} + {10^3}\)
Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(5\) nên \(A\, \vdots \,5.\)
Vậy \(A\) chia hết cho cả \(5\) và \(11.\)
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) mà \(a = b + c\) nên
\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Tương tự ta có
\({a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Từ đó ta có \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\)
Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c.\)
Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)
