Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó

Ta có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)

\( = \left( {{1^3} + {{10}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {9^3}} \right) + \left( {{3^3} + {8^3}} \right) + \left( {{4^3} + {7^3}} \right) + \left( {{5^3} + {6^3}} \right)\)

\( = 11\left( {{1^2} - 10 + {{10}^2}} \right) + 11\left( {{2^2} - 2.9 + {9^2}} \right) + ... + 11\left( {{5^2} - 5.6 + {6^2}} \right)\)

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(11\) nên \(A\, \vdots \,11.\)

Lại có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)

\( = \left( {{1^3} + {9^3}} \right) + \left( {{2^3} + {8^3}} \right) + \left( {{3^3} + {7^3}} \right) + \left( {{4^3} + {6^3}} \right) + \left( {{5^3} + {{10}^3}} \right)\)

\( = 10\left( {{1^2} - 9 + {9^2}} \right) + 10\left( {{2^2} - 2.8 + {8^2}} \right) + ... + {5^3} + {10^3}\)

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(5\) nên \(A\, \vdots \,5.\)

Vậy \(A\) chia hết cho cả \(5\) và \(11.\)