Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Ta có ${\left( {x - 2y} \right)^3} = {x^3} - 3.{x^2}.2y + 3x.{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3}$$= {x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}$

Ta có $8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = {\left( {2x} \right)^3} + 3{\left( {2x} \right)^2}.3 + 3.2x{.3^2} + {3^3} = {\left( {2x + 3} \right)^3}$

Ta có $8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}y + 3.2x.{y^2} - {y^3}$$= {\left( {2x - y} \right)^3}$

Ta có $\left( {3x - 4} \right)\left( {9{x^2} + 12x + 16} \right) = \left( {3x - 4} \right)\left( {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3x.4 + {4^2}} \right)$$= {\left( {3x} \right)^3} - {4^3}$

Ta có $\left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{4} - 3y + 36} \right)$$= \left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2} - \dfrac{y}{2}.6 + {6^2}} \right)$$= {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {6^3}$

Ta có ${x^3} - 12{x^2} + 48x - 64 = 0$$\Leftrightarrow {x^3} - 3.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} - {4^3} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy $x = 4$

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^3} - {x^2}\left( {x + 3} \right) = 2$$\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} - 3{x^2} = 2$$\Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}.$

Vậy $x = \dfrac{1}{3}$ .

Ta có $B = {x^3} - 6{x^2} + 12x + 10$$= {x^3} - 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} - 8 + 18 = {\left( {x - 2} \right)^3} + 18$

Thay $x = 1002$ vào $B = {\left( {x - 2} \right)^3} + 18$ ta được $B = {\left( {1002 - 2} \right)^3} + 18 = {1000^3} + 18$

Ta có $H = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - {\left( {2x + 1} \right)^3} + 7{\left( {x - 1} \right)^3} - 3x\left( { - 11x + 5} \right)$

$= {x^3} + {5^3} - \left( {8{x^3} + 3.{{\left( {2x} \right)}^2}.1 + 3.2x{{.1}^2} + 1} \right) + 7\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 33{x^2} - 15x$

$= {x^3} +125 - 8{x^3} - 12{x^2} - 6x - 1 + 7{x^3} - 21{x^2} + 21x - 7 + 33{x^2} - 15x$

$= \left( {{x^3} - 8{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - 12{x^2} - 21{x^2} + 33{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 21x - 15x} \right) +125- 1 - 7$

$=  117$

Vậy giá trị của $M$ là một số lẻ.

Ta có  ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$$= {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)$

Suy ra ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

Hay $Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

Thay  $a + b = 5$ và $a.b =  - 3$ vào $Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$ ta được $Q = {5^3} - 3.\left( { - 3} \right).5 = 170$

Vậy $Q = 170$

Ta có $M = 8\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right)$

$= 8\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{{\left( {2x} \right)}^3} - 1} \right)$$= 8{x^3} - 8 - 8{x^3} + 1 =  - 7$  nên $M =  - 7$

+) $N = x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - 4x$$= x\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^3} + {3^3}} \right) + 4x$$= {x^3} - 4x - {x^3} - 27 + 4x$$=  - 27$

$\Rightarrow N =  - 27$

Vậy $M = N + 20$ .

 Ta có

$\begin{array}{l}A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = \left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = {x^3} + {3^3} - 54 - {x^3}\\A = 27 - 54 =  - 27\end{array}$

Vậy $A =  - 27$ .

Ta có $A = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} + 12{x^2} - 12xy + 3{y^2} + 6x - 3y + 11$

$= {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.y + {y^3} + 3\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) + 3\left( {2x - y} \right) + 11$

$= {\left( {2x - y} \right)^3} + 3{\left( {2x - y} \right)^2} + 3\left( {2x - y} \right) + 1 + 10$

$= {\left( {2x - y + 1} \right)^3} + 10$

Thay $2x - y = 9$ vào $A = {\left( {2x - y + 1} \right)^3} + 10$ ta được $A = {\left( {9 + 1} \right)^3} + 10 = 1010$

Vậy $A = 1010.$ .

Ta có ${\left( { - b - a} \right)^3}$$= {\left[ { - \left( {a + b} \right)} \right]^3}$$=  - {\left( {a + b} \right)^3}$$=  - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)$ $=  - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}$$=  - {a^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - {b^3}$ nên A đúng.

+ Xét  ${\left( {c - d} \right)^3}$$= {c^3} - 3{c^2}d + 3c{d^2} + {d^3}$$= {c^3} - {d^3} + 3cd\left( {d - c} \right)$ nên B đúng.

+ Xét ${\left( {y - 1} \right)^3}$$= {y^3} - 3{y^2}.1 + 3y{.1^2} - {1^3}$$= {y^3} - 1 - 3y\left( {y - 1} \right)$ nên D đúng.

+ Xét ${\left( {y - 2} \right)^3}$$= {y^3} - 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} - {2^3}$$= {y^3} - 6{y^2} + 12y - 8$$= {y^3} - 8 - 6y\left( {y - 2} \right)$$\ne {y^3} - 8 - 6y\left( {y + 2} \right)$

nên C sai.

Ta có

${\left( {A + B} \right)^3}$$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$ nên phương án C sai, A đúng.

${\left( {A - B} \right)^3}$$= {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$ nên phương án B sai, D sai

Ta có ${A^3} + {B^3}$$= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ và ${A^3} - {B^3}$$= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ nên A, B  đúng.

Vì $A + B = B + A$

$\Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3}$$= {\left( {B + A} \right)^3}$ nên C đúng.

Vì $A - B =  - \left( {B - A} \right)$

$\Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3}$$=  - {\left( {B - A} \right)^3}$ nên D sai.

Ta có $8 + 12y + 6{y^2} + {y^3}$$= {2^3} + {3.2^2}y + 3.2.{y^2} + {y^3}$$= {\left( {2 + y} \right)^3} \ne \left( {8 + {y^3}} \right)$ nên A sai.

+Xét  ${\left( {2x - y} \right)^3}$$= {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3}$$= 8{x^3} - 12{x^2}y + 6xy - {y^3}$$\ne 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}$ nên C sai.

+ Xét ${\left( {3a + 1} \right)^3}$$= {\left( {3a} \right)^3} + 3.{\left( {3a} \right)^2}.1 + 3.3a{.1^2} + 1$$= 27{a^3} + 27{a^2} + 9a + 1$$\ne 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1$ nên D sai

+ Xét ${a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}$ nên B đúng.

Ta có ${\left( { - b - a} \right)^3}$$= {\left[ { - \left( {a + b} \right)} \right]^3}$$=  - {\left( {a + b} \right)^3}$$=  - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)$ $=  - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}$$=  - {a^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - {b^3}$ nên A đúng.

+ Xét  ${\left( {c - d} \right)^3}$$= {c^3} - 3{c^2}d + 3c{d^2} + {d^3}$$= {c^3} - {d^3} + 3cd\left( {d - c} \right)$ nên B đúng.

+ Xét ${\left( {y - 1} \right)^3}$$= {y^3} - 3{y^2}.1 + 3y{.1^2} - {1^3}$$= {y^3} - 1 - 3y\left( {y - 1} \right)$ nên D đúng.

+ Xét ${\left( {y - 2} \right)^3}$$= {y^3} - 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} - {2^3}$$= {y^3} - 6{y^2} + 12y - 8$$= {y^3} - 8 - 6y\left( {y - 2} \right)$$\ne {y^3} - 8 - 6y\left( {y + 2} \right)$

nên C sai.

Ta có ${x^3} + 12{x^2} + 48x + 64$$= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3}$$= {\left( {x + 4} \right)^3}$

Ta có ${x^3} - 6{x^2} + 12x - 8$$= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3}$$= {\left( {x - 2} \right)^3}$