Bài tập ôn tập chương 4

Đặt $\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| = 2x - 1\;\;\;\left( 1 \right)$         

Xét: $\begin{array}{l} + )\;\;x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ + )\;\;x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.\end{array}$      

Ta có bảng xét dấu đa thức $x - 1$ và $x - 3$ dưới đây

+) Xét khoảng $x < 1$  ta có:

$(1) \Leftrightarrow (1 - x) + (3 - x) = 2x - 1 \Leftrightarrow  - 2x + 4 = 2x - 1 \Leftrightarrow 4x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}$ (Không thuộc khoảng đang xét)

+) Xét khoảng $1 \le x \le 3$ ta có

$(1) \Leftrightarrow (x - 1) + (3 - x) = 2x - 1 \Leftrightarrow 2 = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}(TM)$

+) Xét khoảng $x > 3$  ta có:

$(1) \Leftrightarrow (x - 1) + (x - 3) = 2x - 1 \Leftrightarrow 0.x =  - 3$ (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{3}{2}$.

$\begin{array}{l}\;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\end{array}$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right..$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + 1}} < 0$  mà $4 > 0$  nên $x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1.$

Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm $x <  - 1$.

$\begin{array}{l} + )\;\;{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x(x + 5) + 5\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 6 - 1 > {x^2} + 5x + 5\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {x^2} - 5x > 5 + 6 + 1\\ \Leftrightarrow  - 3x > 12\\ \Leftrightarrow x <  - 4\end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là: ${S_1} = \left\{ {x/x <  - 4} \right\}$

$\begin{array}{l} + )\;\;\dfrac{2}{3} - \dfrac{{3x - 6}}{2} > \dfrac{{1 + 3x}}{6}\\ \Leftrightarrow 2.2 - 3(3x - 6) > 1 + 3x\\ \Leftrightarrow 4 - 9x + 18 > 1 + 3x\\ \Leftrightarrow 12x < 21 \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{4}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ${S_1} = \left\{ {x/x < \dfrac{7}{4}} \right\}$ 

$\;\;\left| {{x^2} + 2x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 = 2\\{x^2} + 2x - 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = 0\\{x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - x - 3 = 0\\{(x + 1)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x(x + 3) - (x + 3) = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}(x + 3)(x - 1) = 0\\x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 1 = 0\\x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right..$

Vậy nghiệm của phương trình là $x{\rm{ }} =  - 3;{\rm{ }}x =  \pm 1.$

Tích các nghiệm của phương trình là $\left( { - 3} \right).1.\left( { - 1} \right) = 3.$

Với $0 < a < b$ ta có ${\left( {a - b} \right)^2} > 0$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} > 2ab \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ab}} > 2\,\,\left( {{\rm{do}}\,ab > 0} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} > 2.$

Vậy với mọi $0 < a < b$ ta luôn có $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} > 2.$

+) Đáp án A: Bất đẳng thức tương đương với ${x^4} - 4x + 3 \ge 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x - 3} \right) \ge 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 + x + 2} \right) \ge 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] \ge 0\end{array}$

(luôn đúng với mọi số thực $x$)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 1.$

Nên A đúng.

+)  Đáp án B: Bất đẳng thức tương đương với ${x^4} - {x^2} - 4x + 5 > 0$

$\Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + {x^2} - 4x + 4 > 0$$\Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0$

Ta có: $\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\x = 2\end{array} \right.$ điều này không xảy ra.

$\Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0$ nên B đúng.

${\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 12\\y =  - 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  - 12$ và $y =  - 4.$

Suy ra $y - x =  - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.$