Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\), hai đường phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) cắt nhau tại \(I\), hai đường phân giác của góc \(B\) và góc \(C\) cắt nhau tại \(J\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD,{\rm{ }}K\) là trung điểm của \(BC\). Cho biết \(AB = AD = 10cm,BC = 12cm,CD = 20cm\). Tính độ dài các đoạn \(HI,{\rm{ }}IJ\) và \(JK\).

Xét hình thang \(ABCD\) có: \(H\) là trung điểm của \(AD,{\rm{ }}K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(KH\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}KH\parallel CD(1)\\HK = \dfrac{{AB + CD}}{2} = \dfrac{{10 + 20}}{2} = 15cm\end{array} \right.\)

Vì \(AI\) và \(DI\) là hai tia phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) nên ta có:\(\widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \dfrac{{\widehat A + \widehat D}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AID\) có: \(\widehat {AID} = 180^\circ  - \left( {\widehat {IAD} + \widehat {IDA}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \). Suy ra \(\Delta AID\) vuông tại \(I\).

Lại có \(IH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AD\) của tam giác vuông \(AID\) nên \(HI = HD\).

Do đó tam giác \(HID\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HID} = \widehat {HDI}\).

Mà \(\widehat {HDI} = \widehat {IDC} \Rightarrow \widehat {HID} = \widehat {IDC} \Rightarrow HI\parallel DC(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) thẳng hàng hay điểm \(I\) thuộc đường thẳng \(HK\).

Tương tự điểm \(J\) thuộc đường thẳng \(HK\). Do đó bốn điểm \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J,{\rm{ }}K\) thẳng hàng.

\(\begin{array}{l}IH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5cm\\JK = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm\\ \Rightarrow {\rm{IJ}} = HK - IH - JK = 15 - 5 - 6 = 4cm\end{array}\).

Vậy \(IH = 5\,cm;\,JK = 6cm;\,IJ = 4cm.\)