Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng \(15cm\).

+ Xét hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại \(O,{\rm{ }}MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\). Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(E\), với \(CD\) tại \(F\).

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:

\(AD = BC\) (gt)

DC cạnh chung

\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta BCD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) ( hai góc tương ứng)\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O\( \Rightarrow OC = OD\).

Mà \(AC = BD\) nên \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\).

Lại có: \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) ( do \(AB\) vuông góc với \(CD\)) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) nên  \(OE = \dfrac{{AB}}{2}\).

Tương tự: tam giác \(DOC\) vuông cân tại \(O\) nên \(FO = \dfrac{{CD}}{2}\).

Do đó \(FE = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)

\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}\).

\( \Rightarrow MN = FE = 15cm\).