Chứng minh với mọi số thực x ta có `[x] + [x + 1/3] + [x + 2/3] = [3x]`

Đáp án:

Đặt `n = [x]` thì `n ≤ x < n + 1`

Xét `3` trường hợp:

`+` Nếu `n ≤ x < n + 1/3` thì `n < x + 1/3< n +2/3, n < x +2/3< n + 1` và `3n ≤ 3x < 3n + 1`

Do đó

`[x] = [x + 1/3] = [x + 2/3] = n,  [3x] = 3n`

Nên:

`[x] + [x + 1/3] + [x + 2/3] = 3n = [3x]`
`+` Nếu `n + 1/3≤ x < n +2/3` thì `n + 2/3≤ x +1/3< n + 1, n + 1 ≤ x +2/3< n +4/3` và `3n + 1 ≤ 3x < 3n + 2.`

Do đó
`[x] = [x + 1/3] = n, [x + 2/3] = n + 1, [3x] = 3n + 1`

Nên:

`[x] + [x + 1/3] + [x + 2/3] = 3n + 1= [3x]`

`+` Nếu `n + 2/3≤ x < n + 1` thì `n + 1 ≤ x + 1/3< n +4/3, n +4/3≤ x +2/3< n +5/3` và `3n + 2 ≤ 3x < 3n + 3.`

Do đó:

`[x] = n, [x + 1/3] = n + 1, [x + 2/3] = n + 1, [3x] = 3n + 2`

Nên:

`[x] + [x + 1/3] + [x + 2/3] = 3n + 2= [3x]`

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có `[x] + [x + 1/3] + [x + 2/3] = [3x]`

$#dariana$