Tìm \(x\) biết \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)
Ta có \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 0;\,x = - 2\) .
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\)
Ta có \({x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 2{x^2}} \right) - \left( {9x + 18} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) - 9\left( {x + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(x = - 2;\,x = 3;\,x = - 3\) .
Cho \(\left| x \right| < 2\) . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = {x^4} + 2{x^3} - 8x - 16\) .
Ta có \(A = {x^4} + 2{x^3} - 8x - 16\)\( = \left( {{x^4} - 16} \right) + \left( {2{x^3} - 8x} \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + 2x\left( {{x^2} - 4} \right)\)
\( = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)
Ta có \({x^2} + 2x + 4 = {x^2} + 2x + 1 + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0\,,\,\,\forall x\)
Mà \(\left| x \right| < 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4 < 0\)
Suy ra \(A = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) < 0\) khi \(\left| x \right| < 2\).
Cho \(a{b^3}{c^2} - {a^2}{b^2}{c^2} + a{b^2}{c^3} - {a^2}b{c^3} = ab{c^2}\left( {b + c} \right)\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
Ta có \(a{b^3}{c^2} - {a^2}{b^2}{c^2} + a{b^2}{c^3} - {a^2}b{c^3} = ab{c^2}\left( {{b^2} - ab + bc - ac} \right) = ab{c^2}\left[ {\left( {{b^2} - ab} \right) + \left( {bc - ac} \right)} \right]\)
\( = ab{c^2}\left[ {b\left( {b - a} \right) + c\left( {b - a} \right)} \right] = ab{c^2}\left( {b + c} \right)\left( {b - a} \right).\)
Vậy ta cần điền \(b - a\) .
Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\) khi \({x^3} - x = 6\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}\)
Tại \({x^3} - x = 6\), ta có: \(B = \left( {6 + 1} \right).6 = 7.6 = 42\)
Với \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) thì
Từ đẳng thức đã cho suy ra \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)
\({b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) \)\(= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] \)\(= {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)\)
\(\Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc\)
\(\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\)
\(\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\)
\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\)
Do đó nếu \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0\)
Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \)\(= \dfrac{1}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\)
Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) suy ra \(a = b = c\).
Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) thì \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 0\).
Cho \(ab + bc + ca = 1\). Khi đó \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) bằng
Vì \(ab + bc + ca = 1\) nên \({a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\)
\({b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca = b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)\)
\({c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca = \left( {{c^2} + bc} \right) + \left( {ab + ac} \right)\) \( = c\left( {c + b} \right) + a\left( {b + c} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\)
Từ đó suy ra \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) \)\(= \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right).\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\) \( = {\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)
Vậy \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\)\( = {\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
Ta có \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}\)
\( = x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {x + 1} \right)^3}\)
\( = x{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right) = x{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 1} \right)^4} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^5}\)
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(xy = 2\left( {x + y} \right)\).
Ta có \(xy = 2\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 2x + 2y - xy = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - xy + 2y - 4 = - 4\)\( \Leftrightarrow x\left( {2 - y} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = - 4\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2 - y} \right) = - 4 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 4\)
Mà \(x;y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 2} \right);\left( {y - 2} \right) \in Ư\left( 4 \right) \)\(= \left\{ { - 1;1; - 2;2; - 4;4} \right\}\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = - 1\\y - 2 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 2\end{array} \right.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\y - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\y - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = - 2\\y - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = - 4\\y - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = 1\end{array} \right.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 4\\y - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy có 6 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Thu gọn đa thức \(A = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2}\) ta được
Ta có \(A = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2}\)
\( = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\) \( + {a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} - 2acxz + {c^2}{x^2}\) \( + {b^2}{z^2} - 2bczy + {c^2}{y^2}\)
\( = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} \)\(+ {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\)
\( = \left( {{a^2}{x^2} + {b^2}{x^2} + {c^2}{x^2}} \right) + \left( {{b^2}{y^2} + {a^2}{y^2} + {c^2}{y^2}} \right) \)\(+ \left( {{b^2}{z^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{z^2}} \right)\)
\( = {x^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {y^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \)\(+ {z^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
