Tứ giác $EFGH$ là hình gì?

Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại $A$ nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \) 

Xét tam giác vuông $FGC$ có

 \(\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C\)

Suy ra \(\Delta FGC\) là tam giác vuông cân tại $G$ \( \Rightarrow FG = GC\)

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có

 \(\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B\)

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ \( \Rightarrow EH = HB\)

Mà \(BH = HG = GC(gt)\) nên \(FG = EH = HG\)

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

\(\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb)

Mà \(\widehat H = 90^\circ \) ( do \(EH \bot BC\) ) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác \(EH = HG(cmt)\) nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.