Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9cm, AC = 12cm, đường cao AH, đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc BC, E thuộc BC , đường thẳng DE cắt đường thẳng AB tại F. a,Chứng minh rằng BD vuông góc với BF b, Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABC và BCD

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `\triangleBFC` có: $\\$ `AC` là đường cao `(\triangleABC` vuông tại `A)` $\\$ `EF` là đường cao `( DE \bot BC` tại `E)` $\\$ `AC nn EF` tại `D`

`-> D` là trực tâm $\\$ `-> BD` là đường cao $\\$ `-> BD \bot CF`

`b)` Xét `\triangleABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (Định lý Pytago)

hay `BC^2 = 9^2 + 12^2 = 15^2`

`-> BC = 15` `(cm)`

Ta có: $\\$ `S_{ABC} = 1/2. AH. BC` $\\$ `S_{BCD} = 1/2. FE. BC` $\\$ `-> (S_{ABC})/(S_{BCD}) = (AH)/(FE) = (AH)/(DE)`

Xét `\triangleACH` có: `DE //// AH` `(` cùng `\bot BC)`

`-> (DE)/(AH) = (CD)/(AC)` (Hệ quả)

hay `(AH)/(DE) = (AC)/(CD)`

Vì: `BD` là tia phân giác của `\hat{ABC}` $(gt)$

`-> (AB)/(BC) = (AD)/(DC)` $\\$ `-> (BC)/(AB) = (DC)/(AD)`

`-> (BC)/(AB + BC) = (DC)/(AD + DC)`

hay `(CD)/(AC) = 15/(9 + 15) = 5/8`

`-> (AH)/(DE) = (AC)/(CD) = 8/5` $\\$`-> (S_{ABC})/(S_{BCD}) = (AH)/(DE) = 8/5`