Hình vuông

Hình chữ nhật $ADME$ là hình vuông $\Leftrightarrow AM$ là phân giác $\widehat {DAE}$.

Hay $AM$ là phân giác góc $BAC$.

Vì $MD//AB;ME//AC$ mà $AB \bot AC$ nên $MD \bot AC;\,ME \bot AB$.

Suy ra: $\widehat A = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ$ nên tứ giác $DMEA$ là hình chữ nhật.

Vì $MD//AB;ME//AC$ mà $AB \bot AC$ nên $MD \bot AC;\,ME \bot AB$.

Suy ra: $\widehat A = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ$ nên tứ giác $DMEA$ là hình chữ nhật.

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông vừa là hình chữ nhật và hình thoi nên nó có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Từ đó A, C, D đúng, B sai.

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

+ Hình thoi và hình vuông đều có hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ (tính chất).

Mà $AE = BF = CG = DH\,\left( {gt} \right)$ nên $AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - DH$ hay $DG = CF = EB = AH$.

Từ đó suy ra $\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF$ (c-g-c) nên $HG = GF = HE = EF$.

Vì $HG = GF = HE = EF$ nên tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

+ Vì $\Delta AHE = \Delta BEF\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {BEF}$  (hai góc tương ứng) mà $\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BEF} + \widehat {HEA} = 90^\circ$

Từ đó $\widehat {HEF} = 180^\circ  - \left( {\widehat {HEA} + \widehat {BEF}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ$ .

Hình thoi $EFGH$ có $\widehat {HEF} = 90^\circ$ nên $EFGH$ là hình vuông.

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng $4a$ . ($a$ là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có $4a = 28 \Leftrightarrow a = 7\,cm$ . Vậy cạnh hình vuông là $a = 7\,cm$ .

Gọi hình vuông $ABCD$ có chu vi là $16\,cm$ . Khi đó $4.AB = 16\,cm \Rightarrow AB = 4cm = AB = CD = DA$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {4^2} + {4^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 32$ .

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là $32$ .

Ta có $EH;\,EF$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABD;\,BAC$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}EH//BD;\,\,\,EF//AC\\EH = \dfrac{1}{2}BD;\,\,EF = \dfrac{1}{2}AC\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi$\left\{ \begin{array}{l}EH \bot EF\\EH = EF\end{array} \right.\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\DB = AC\end{array} \right.$ thì hình bình hành $EFGH$ là hình vuông.

Gọi cạnh của hình vuông $ABCD$ là $a$ .

Vì $ABCD$ là hình vuông và $M,N,P,Q$ là trung điểm các cạnh$AB,BC,CD,CA$ nên ta có $AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = \dfrac{a}{2}.$Từ đó $\Delta AQM = \Delta BMN = \Delta CPN = \Delta DQP\,\left( {c - g - c} \right)$

Suy ra ${S_{QAM}} = {S_{MNB}} = {S_{CPN}} = {S_{DPQ}} = \dfrac{{DQ.DP}}{2}$$=\dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{{4.2}}= \dfrac{{{a^2}}}{8}.$ Lại có ${S_{ABCD}} = {a^2}.$ 

Nên ${S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMQ}} - {S_{MBN}} - {S_{CPN}} - {S_{DPQ}}$$= {a^2} - 4.\dfrac{{{a^2}}}{8} = \dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{1}{2}.{S_{ABCD}}.$

Vậy ${S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}$.

Hình chữ nhật $AMNP$ là hình vuông $\Leftrightarrow AM = AP$ .

Mà $AM = \dfrac{1}{2}AB;AP = \dfrac{1}{2}AC(gt)$ nên $AM = AP \Leftrightarrow AB = AC$ .

Vậy nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì hình chữ nhật $AMNP$ là hình vuông.

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$ 

Xét tam giác vuông $FGC$ có

 $\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$

Suy ra $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có

 $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb)

Mà $\widehat H = 90^\circ$ ( do $EH \bot BC$ ) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

Vì $FG = EH = HG$ nên $HG = \dfrac{{BC}}{3} = \dfrac{9}{3} = 3cm$

Do đó chu vi hình vuông $EFGH$ là $4.HG = 4.3 = \,12\,cm$ .

+ Tam giác $ABC$ cân tại$A$ , $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMCK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AI = IC(gt)\\MI = IK(gt)\\AC \cap MK = I\,(gt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có: $\widehat {AMC} = 90^\circ (cmt)$ nên hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật.

+ Ta có:

$AK{\rm{//}}MC$ ( do $AMCK$ là hình chữ nhật), $M \in BC(gt) \Rightarrow AK{\rm{//}}BM$

Mà $BM = MC$ ( do $AM$ là trung tuyến), $AK = MC$ (do $AMCK$ là hình chữ nhật)  nên $AK = BM$ (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác $ABMK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AK = BM(cmt)\\AK{\rm{//}}BM(cmt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $ABMK$ là hình bình hành.

Hình chữ nhật $AMCK$ là hình vuông $\Leftrightarrow AM = MC$

Mà $MC = \dfrac{1}{2}BC(gt)$ nên $AM = MC \Leftrightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC$

Do $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $AM = \dfrac{1}{2}BC \Leftrightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại$A$ .

Vậy nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì tứ giác $AMCK$ là hình vuông.

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M  sao cho $CM = AK$ . Ta có: $AK + CE = CM + CE = EM$ .

Ta cần chứng minh $EM = BE$ .

Xét $\Delta BAK$ và $\Delta BCM$ có:

$AK = CM$ ( cách vẽ)

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C = 90^\circ (gt)\\BA = BC(gt)\\ \Rightarrow \Delta BAK = \Delta BCM(c.g.c)\end{array}$

$\Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {CBM};\widehat {\,\,AKB} = \widehat {CMB}$ (góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABK} = \widehat {KBE}$ (gt) nên $\widehat {KBE} = \widehat {CBM}$ (bắc cầu).

Ta có:

$\widehat {EBM} = \widehat {EBC} + \widehat {CBM} = \widehat {EBC} + \widehat {KBE} = \widehat {KBC} = \widehat {AKB}(slt) = \widehat {CMB}$.

Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).

 $\begin{array}{l} \Rightarrow BE = EM\\ \Rightarrow AK + CE = CM + CE = EM = BE\\ \Rightarrow AK + CE = BE\,\,\,\,\end{array}$.