Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường trung tuyến $AM.$ Gọi $I$ là trung điểm của  $AC$ .  $K$ là điểm đối xứng với $M$ qua điểm $I$ .

Tứ giác $AKMB$ là hình gì?

+ Tam giác $ABC$ cân tại$A$ , $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao.

\( \Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác $AMCK$ có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AI = IC(gt)\\MI = IK(gt)\\AC \cap MK = I\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có: \(\widehat {AMC} = 90^\circ (cmt)\) nên hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật.

+ Ta có:

\(AK{\rm{//}}MC\) ( do $AMCK$ là hình chữ nhật), \(M \in BC(gt) \Rightarrow AK{\rm{//}}BM\)

Mà \(BM = MC\) ( do $AM$ là trung tuyến), \(AK = MC\) (do $AMCK$ là hình chữ nhật)  nên \(AK = BM\) (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác $ABMK$ có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AK = BM(cmt)\\AK{\rm{//}}BM(cmt)\end{array} \right.\)

Suy ra tứ giác $ABMK$ là hình bình hành.