Chọn câu sai.
Ta có
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)\)
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\)
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
Ta có \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$
Nên C đúng.
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \)
\(= - 15x + 1\)
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\)
\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\)
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\( = {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3\) \( = 12\) .
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$\( = \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}\)
\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\)
\(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)
Vậy $D=29;C=2$ suy ra \(D = 14C + 1\) (do $29=14.2+1$).
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
Ta có \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu.
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$\( \Leftrightarrow {x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 6x - 54 = 0\)\( \Leftrightarrow 6x = - 54 \)\(\Leftrightarrow x = - 9.\)
Vậy \(x = - 9.\)
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
Ta có \(A = 2016.2018.a\)\( = \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a\)
Vì \({2017^2} - 1 < {2017^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a\) hay $A < B$ .
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
Ta có \(N = \left( {2 + 1} \right)\)\(\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = 3\left( {{2^2} + 1} \right)\)\(\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1\) mà \({2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M\)
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
Ta có \(P = - 4{x^2} + 4x - 2 \)\(= - 4{x^2} + 4x - 1 - 1 \)\(= - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1\)\( = - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Nhận thấy \( - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le - 1,\,\forall x\) hay \(P \le - 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
Ta có \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)\( = - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8 \)\(= - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \) \(= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}\)
Nhận thấy \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \)\(\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x = - 4\)
Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(24\) khi \(x = - 4.\)
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\)
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\)
Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Ta có \(C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\)
\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)
Ta có \({x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x\)
Và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)\( \ge 1 + 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(5\) khi \(x = - 2.\)
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) .
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\)
\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\)
\( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\)
\( = 36{x^2} - 4\)
Vậy \(A = 36{x^2} - 4\)
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
