Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Ta có

$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.

Ta có $4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)$

Ta có ${\left( {3x - 4y} \right)^2}$$= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2}$$= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$

Ta có $\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}$

Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.

$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$

Nên C đúng.

Ta có $A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)$$= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x$

$=  - 15x + 1$

Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$$= 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)$

$= 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a$ $=  - 19$

Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$$= {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)$

$= {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3$ $= 12$ .

Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$$= \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}$$= \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}$

$= \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2$

$D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}$$= \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}$$= \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29$

Vậy $D=29;C=2$ suy ra $D = 14C + 1$ (do $29=14.2+1$).

Ta có ${\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu.

Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9$

$\Leftrightarrow {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0$

$\Leftrightarrow  - 6x - 54 = 0$$\Leftrightarrow 6x =  - 54$$\Leftrightarrow x =  - 9.$ 

Vậy $x =  - 9.$ 

Ta có $A = 2016.2018.a$$= \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a$

Vì ${2017^2} - 1 < {2017^2}$ và $a > 0$ nên $\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a$ hay $A < B$ .

Ta có $N = \left( {2 + 1} \right)$$\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)$$\left( {{2^8} + 1} \right)$$\left( {{2^{16}} + 1} \right)$$= 3\left( {{2^2} + 1} \right)$$\left( {{2^4} + 1} \right)$$\left( {{2^8} + 1} \right)$$\left( {{2^{16}} + 1} \right)$

$= \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)$$= \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)$$\left( {{2^{16}} + 1} \right)$$= \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)$

$= \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1$  mà ${2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M$

Ta có $P =  - 4{x^2} + 4x - 2$$=  - 4{x^2} + 4x - 1 - 1$$=  - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1$$=  - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}$

Nhận thấy $- {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0$$\Rightarrow  - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le  - 1,\,\forall x$  hay $P \le  - 1.$

Ta có $Q = 8 - 8x - {x^2}$$=  - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8$$=  - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24$ $= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}$

Nhận thấy ${\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x$$\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.$

Dấu “=” xảy ra khi  ${\left( {x + 4} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow x =  - 4$

Giá trị lớn nhất của $Q$ là $24$ khi $x =  - 4.$ 

Ta có $E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1$

Vì ${\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x$$\Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - 10} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E$ là $1$ khi $x = 10.$ 

Ta có  $K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6$$= {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7$$= {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7$

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y$  nên ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge  - 7$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E$ là $- 7$ khi $x = 3;y = 2$ .

Ta có  $C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3$$= \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3$$= {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3$

$= {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4$$= {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4$

Ta có ${x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1$$= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x$  nên ${\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x$

Và ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x$  nên ${\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4$$\ge 1 + 4$$\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $I$ là $5$ khi $x =  - 2.$

Ta có  ${\left( {a + b + c} \right)^2}$$= {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}$$= {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}$

$= {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}$ $= {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)$ .

Ta có $A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)$

$= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12$

$= 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12$

$= 36{x^2} - 4$

Vậy $A = 36{x^2} - 4$

Thay $x =  - \dfrac{1}{3}$ vào $A = 36{x^2} - 4$ ta được $A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0$