Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Xét $M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)$

$= \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}$

$= \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1$

$= \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1$

$= 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1$

$= \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003$

Từ đó $\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1$

Ta có ${\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0$

$\Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0$

Lại thấy ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$

Nên ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$  với mọi $a,b,c$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$

Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là $y$ cây $\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là $x$ cây $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là ${y^2}$ cây

Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là ${x^2}$ cây

Theo bài ra ta có ${y^2} - {x^2} = 211$ $\Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211$

Mà $211$ là số nguyên tố và $y - x < y + x$ nên ta có $\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211$ hay $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) suy ra $y = x + 1$, thay xuống (2) ta được $x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105$

Suy ra $y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106$

Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là ${106^2} = 11236$ cây.