Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\)
Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
Xét \(M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)\)
\( = \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\)
\( = \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1\)
\( = \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1\)
\( = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1\)
\( = \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003\)
Từ đó \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)
Lại thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là \(y\) cây \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là \(x\) cây \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là \({y^2}\) cây
Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là \({x^2}\) cây
Theo bài ra ta có \({y^2} - {x^2} = 211\) \( \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211\)
Mà \(211\) là số nguyên tố và \(y - x < y + x\) nên ta có \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) suy ra \(y = x + 1\), thay xuống (2) ta được \(x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105\)
Suy ra \(y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106\)
Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là \({106^2} = 11236\) cây.
