Số các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn cả hai bất phương trình: \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} >  - 5\) và \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\) là:

* Ta có: \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} >  - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 >  - 100\\ \Leftrightarrow  - 11x >  - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

* Ta có: \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}\)

\( \Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 13x > 130\\\Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(10 < x < 13\)

Nên các số nguyên thỏa mãn là: \(x = 11;\,x = 12\).

Vậy có \(2\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.