Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta biểu diễn \(x \ge 8\) trên trục số như sau:

Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Nên \(y < 10 - 2y\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ta có  \(x - 2 > 4\), chuyển \( - 2\) từ vế trái sang vế phải ta được \(x > 4 + 2\).

Ta có $x - 2 < 1 \Leftrightarrow x - 2 + 1 < 1 + 1 \Leftrightarrow x - 1 < 2$

Chuyển vế \( - 2\) từ vế trái sang vế phải thì phải đổi dấu ta được \(bpt \Leftrightarrow x < 1 + 2 \Leftrightarrow x < 3 \Rightarrow \) loại đáp án A và B.

Giải bất phương trình ta được: \(2x - 2 > 4 \Leftrightarrow 2x > 6 \Leftrightarrow x > 3.\)

 Biểu diễn trên trục số:

\(1 - 3x \ge 2 - x\)

\(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow  - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le  - \dfrac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le  - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .

+ Thay \(x =  - 3\) vào bất phương trình \(2x + 1 > 5\) ta được \(2.\left( { - 3} \right) + 1 > 5 \Leftrightarrow  - 5 > 5\) (vô lý) nên  \(x =  - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + 1 > 5\).

+ Thay \(x =  - 3\) vào bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\) ta được \(7 - 2.\left( { - 3} \right) < 10 - \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow 13 < 13\) (vô lý) nên  \(x =  - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\).

+ Thay \(x =  - 3\) vào bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\) ta được \(2 + \left( { - 3} \right) < 2 + 2.\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow  - 1 <  - 4\) (vô lý) nên  \(x =  - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\).

+ Thay \(x =  - 3\) vào bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\) ta được \( - 3.\left( { - 3} \right) > 4.\left( { - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow 9 >  - 9\) (luôn đúng) nên  \(x =  - 3\) là nghiệm của bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\).

*  Giải từng bất phương trình ta được

+) \(2\left( {x - 1} \right) < x\)\( \Leftrightarrow 2x - 2 < x \)\(\Leftrightarrow 2x - x < 2 \)\(\Leftrightarrow x < 2\)

+) \(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x \le  - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x \le  - 2\)

+) \(2x < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x <  - 4 \)\(\Leftrightarrow x <  - 4\)

+) \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x <  - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x <  - 2\)

* Hình vẽ  biểu diễn tập nghiệm \(S = \left\{ {x <  - 2} \right\}\) .

Nên bất  phương trình \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\) thỏa mãn.

Ta có: \(x - 2 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 6\)

Theo đề bài ta có \(x > 3 \Leftrightarrow 3m + 6 > 3 \Leftrightarrow 3m >  - 3 \Leftrightarrow m >  - 1\)

$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ \Leftrightarrow 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)\\ \Leftrightarrow 6x + 24 - 30x + 150 < 10x + 30 - 15x + 30\\ \Leftrightarrow 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150\\ \Leftrightarrow  - 19x <  - 114\\ \Leftrightarrow x > 6\end{array}$

Vậy \(S = \left\{ {x > 6} \right\}\)

Nghiệm nguyên nhỏ nhất là \(x = 7\).

$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4x <  - 4\\ \Leftrightarrow x <  - 1\end{array}$

  Vậy \(x <  - 1\) .

Ta có $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}\)

Vì \(5 > 0\) (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\) .

 Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\)

 Vì $4>0$ nên 

 \( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 3x > 0 \)\(\Leftrightarrow 3x < 9 \Leftrightarrow x < 3\)

 Vậy để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm thì \(x < 3.\)

Từ giả thiết suy ra \(A > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 27}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {x + 27} \right) - 5\left( {3x - 7} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4x + 108 - 15x + 35 > 0\\ \Leftrightarrow  - 11x + 143 > 0\\ \Leftrightarrow  - 11x >  - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\end{array}\)

Vậy với \(x < 13\) thì \(A > 0\) .

Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 > 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\)

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\) thì \(B\)  âm.

$P > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - x - 1}}{{x + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} > 0$

Vì \( - 4 < 0\) nên $ \Rightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1$ .

* Ta có \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} >  - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 >  - 100\\ \Leftrightarrow  - 11x >  - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

* Ta có \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}\)

\( \Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13x > 130\\ \Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\)  và \(\left( 2 \right)\)  ta được: \(10 < x < 13\)

Nên các số nguyên thỏa mãn là \(x = 11;\,x = 12\).

Từ giả thiết suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} - 4 \le {\left( {x - 3} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 \le {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 - {x^2} + 6x - 9 \le 0\\ \Leftrightarrow 8x \le 12\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(x \le \dfrac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.

Ta có  \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)

Ta có \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3;\,x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2\) hoặc \(x \ge 3\).

Ta có

 \(\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{1987 - x}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{1988 - x}}{{16}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{27 + x}}{{1999}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{1972 - x}}{{15}} + \dfrac{{1972 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 1972}}{{1999}} + \dfrac{{x - 1972}}{{2000}} > 0\)\(\Leftrightarrow \left( {1972 - x} \right)\left( {\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}}} \right) > 0\)

Mà \(\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}} > 0\) nên \(1972 - x > 0 \)\(\Leftrightarrow x < 1972\)

Vậy \(x < 1972\) .