Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
Ta biểu diễn \(x \ge 8\) trên trục số như sau:
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn? Hãy chọn câu đúng?
Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Nên \(y < 10 - 2y\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(x - 2 > 4,\) phép biến đổi nào sau đây là đúng?
Ta có \(x - 2 > 4\), chuyển \( - 2\) từ vế trái sang vế phải ta được \(x > 4 + 2\).
Bất phương trình $x - 2 < 1$ tương đương với bất phương trình sau:
Ta có $x - 2 < 1 \Leftrightarrow x - 2 + 1 < 1 + 1 \Leftrightarrow x - 1 < 2$
Chuyển vế \( - 2\) từ vế trái sang vế phải thì phải đổi dấu ta được \(bpt \Leftrightarrow x < 1 + 2 \Leftrightarrow x < 3 \Rightarrow \) loại đáp án A và B.
Bất phương trình bậc nhất $2x - 2 > 4$ có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Giải bất phương trình ta được: \(2x - 2 > 4 \Leftrightarrow 2x > 6 \Leftrightarrow x > 3.\)
Biểu diễn trên trục số:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528458211853_Untitled6.png)
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
\(1 - 3x \ge 2 - x\)
\(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le - \dfrac{1}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2x + 1 > 5\) ta được \(2.\left( { - 3} \right) + 1 > 5 \Leftrightarrow - 5 > 5\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + 1 > 5\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\) ta được \(7 - 2.\left( { - 3} \right) < 10 - \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow 13 < 13\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\) ta được \(2 + \left( { - 3} \right) < 2 + 2.\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow - 1 < - 4\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\) ta được \( - 3.\left( { - 3} \right) > 4.\left( { - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow 9 > - 9\) (luôn đúng) nên \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\).
Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528458662017_Untitled9.png)
* Giải từng bất phương trình ta được
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x\)\( \Leftrightarrow 2x - 2 < x \)\(\Leftrightarrow 2x - x < 2 \)\(\Leftrightarrow x < 2\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x \le - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x \le - 2\)
+) \(2x < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 \)\(\Leftrightarrow x < - 4\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x < - 2\)
* Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm \(S = \left\{ {x < - 2} \right\}\) .
Nên bất phương trình \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\) thỏa mãn.
Với giá trị của m thì phương trình $x - 2 = 3m + 4$ có nghiệm lớn hơn 3:
Ta có: \(x - 2 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 6\)
Theo đề bài ta có \(x > 3 \Leftrightarrow 3m + 6 > 3 \Leftrightarrow 3m > - 3 \Leftrightarrow m > - 1\)
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}$ là
$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ \Leftrightarrow 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)\\ \Leftrightarrow 6x + 24 - 30x + 150 < 10x + 30 - 15x + 30\\ \Leftrightarrow 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150\\ \Leftrightarrow - 19x < - 114\\ \Leftrightarrow x > 6\end{array}$
Vậy \(S = \left\{ {x > 6} \right\}\)
Nghiệm nguyên nhỏ nhất là \(x = 7\).
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có tập nghiệm là
$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4x < - 4\\ \Leftrightarrow x < - 1\end{array}$
Vậy \(x < - 1\) .
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$.
Ta có $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}\)
Vì \(5 > 0\) (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\) .
Tìm $x$ để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm.
Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\)
Vì $4>0$ nên
\( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 3x > 0 \)\(\Leftrightarrow 3x < 9 \Leftrightarrow x < 3\)
Vậy để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm thì \(x < 3.\)
Tìm \(x\) để biểu thức sau có giá trị dương $A = \dfrac{{x + 27}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4}$
Từ giả thiết suy ra \(A > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 27}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {x + 27} \right) - 5\left( {3x - 7} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4x + 108 - 15x + 35 > 0\\ \Leftrightarrow - 11x + 143 > 0\\ \Leftrightarrow - 11x > - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\end{array}\)
Vậy với \(x < 13\) thì \(A > 0\) .
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 > 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\)
Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\) thì \(B\) âm.
Tìm \(x\) để $P = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}$ có giá trị lớn hơn \(1\).
$P > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - x - 1}}{{x + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} > 0$
Vì \( - 4 < 0\) nên $ \Rightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$ .
Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn cả hai bất phương trình:
\(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > - 5\) và \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)
* Ta có \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 > - 100\\ \Leftrightarrow - 11x > - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
* Ta có \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}\)
\( \Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13x > 130\\ \Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(10 < x < 13\)
Nên các số nguyên thỏa mãn là \(x = 11;\,x = 12\).
Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của biểu thức \({(x + 1)^2} - 4\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \({(x - 3)^2}\).
Từ giả thiết suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} - 4 \le {\left( {x - 3} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 \le {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 - {x^2} + 6x - 9 \le 0\\ \Leftrightarrow 8x \le 12\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Vậy \(x \le \dfrac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.
Giải bất phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\) ta được:
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)
Ta có \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3;\,x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng xét dấu:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528462303800_Untitled11.png)
Từ bảng xét dấu ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\) hoặc \(x \ge 3\).
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4\) là
Ta có
\(\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{1987 - x}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{1988 - x}}{{16}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{27 + x}}{{1999}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1972 - x}}{{15}} + \dfrac{{1972 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 1972}}{{1999}} + \dfrac{{x - 1972}}{{2000}} > 0\)\(\Leftrightarrow \left( {1972 - x} \right)\left( {\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}}} \right) > 0\)
Mà \(\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}} > 0\) nên \(1972 - x > 0 \)\(\Leftrightarrow x < 1972\)
Vậy \(x < 1972\) .