Hình lăng trụ đứng

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\A{C^2} = {10^2} = 100\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago ta có tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\A{C^2} = {10^2} = 100\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago ta có tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\).

Vì $AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}DD'$ và \(A'D'{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) nên các đường thẳng $AA',DD',AD,A'D'$ song song với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

 Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\A{C^2} = {10^2} = 100\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago ta có tam giác $ABC$  là tam giác vuông tại $B$ .

Vì $ABC.DEF$ là hình lăng trụ đứng nên $2$  mặt đáy $ABC$ và $DEF$  song song và bằng nhau.

Suy ra tam giác $DEF$  là tam giác vuông tại $E$ .

 Vì \(AB \bot BC\) (do \(ABCD\) là hình thang vuông) và \(AB \bot BB'\) (tính chất lăng trụ đứng)

Nên \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) , tương tự ta có \(A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Do đó $AB,A'B'$ vuông góc với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

Vì $AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}DD'$ và \(A'D'{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) nên các đường thẳng $AA',DD',AD,A'D'$ song song với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

Vì $AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}DD'$ và \(A'D'{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) nên các đường thẳng $AA',DD',AD,A'D'$ song song với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

Thể tích hình lăng trụ đứng $ABC.DEF$ là: $V = {S_d}.h = 24.12 = 288c{m^3}_{}$

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ $ABC.DEF$ là:

\({S_{xq}} = (6 + 8 + 10).12 = 288\;c{m^2}\)

Diện tích đáy $ABC$  của hình lăng trụ $ABC.DEF$ là:

${S_d}$ \( = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.6.8 = 24\;c{m^2}\)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ $ABC.DEF$ là:

 ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 288 + 2.24 = 336c{m^2}.$

 Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\A{C^2} = {10^2} = 100\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago ta có tam giác $ABC$  là tam giác vuông tại $B$ .

Vì $ABC.DEF$ là hình lăng trụ đứng nên $2$  mặt đáy $ABC$ và $DEF$  song song và bằng nhau.

Suy ra tam giác $DEF$  là tam giác vuông tại $E$ .

 Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\A{C^2} = {10^2} = 100\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago ta có tam giác $ABC$  là tam giác vuông tại $B$ .

Vì $ABC.DEF$ là hình lăng trụ đứng nên $2$  mặt đáy $ABC$ và $DEF$  song song và bằng nhau.

Suy ra tam giác $DEF$  là tam giác vuông tại $E$ .

Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật, các cạnh bên vuông góc với đáy nên chúng song song và bằng nhau.

Vì $AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}DD'$ và \(A'D'{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) nên các đường thẳng $AA',DD',AD,A'D'$ song song với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

 Vì \(AB \bot BC\) (do \(ABCD\) là hình thang vuông) và \(AB \bot BB'\) (tính chất lăng trụ đứng)

Nên \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) , tương tự ta có \(A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Do đó $AB,A'B'$ vuông góc với mp $\left( {BCC'B'} \right).$

Tam giác  $ABC$ có \(A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = {13^2} = B{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pytago đảo)

nên \(AC \bot AB\) . Do đó \(A'C' \bot A'B'\).

Vì $AC$  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$  và $AA'$ nên \(AC \bot mp(ABB'A')\)do đó \(mp(A'B'C') \bot mp(ABB'A')\).

Vậy có ba mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ là mp $\left( {ABC} \right)$ , mp $\left( {A'B'C'} \right),$ mp $\left( {ACC'A'} \right).$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ABC\) ta được $B{C^2} = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\,cm$ .

Ta có chu vi đáy \({P_{ABC}} = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24\,cm\)

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{AB.AC}}{2} = \dfrac{{6.8}}{2} = 24\,c{m^2}\) .

Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng \({S_{xq}} = 24.15 = 360\,c{m^2}\) .

Diện tích toàn phần ${S_{tp}} = 360 + 2.24 = 408\,c{m^2}$ .

Đặt $AD = x$ .

Diện tích xung quanh bằng:

$2\left( {10 + x} \right).6\left( {c{m^2}} \right)$

Tổng diện tích hai đáy bằng  $2.10x\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có $2\left( {10 + x} \right).6{\rm{ }} = {\rm{ }}2.10x \Leftrightarrow 60 + 6x = 10x \Leftrightarrow x = 15$

Kích thước còn lại của đáy bằng $15cm$ .

Tam giác vuông $ABB'$  có \(\widehat {BAB'} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân tại \(B\) nên $AB = BB' = 2cm$ .

Vì tam giác \(ABC\) đều nên chu vi đáy bằng $3AB = 3.2 = 6cm$

Diện tích xung quanh bằng $6.2 = 12\left( {c{m^2}} \right).$

Gọi $a$  và $b$  là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$  lớn nhất \( \Leftrightarrow \) $ab$  lớn nhất

\({S_{xq}} = 120\) nên \(2\left( {a + b} \right).6 = 120\) hay \(a + b = 10\).

Ta có: \(ab = a\left( {10 - a} \right) =  - {a^2} + 10a =  - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25\).

Suy ra \(V = 6ab \le 6.25 = 150\).

Thể tích lớn nhất bằng \(150\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) khi \(a = b = 5\), tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.