Hình hộp chữ nhật

Vì $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm $AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'$ nên \(KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN\)

Suy ra bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có \(KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'\) nên  mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$

Ta thấy mp \(\left( {MNIK} \right)\) và mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(MN\) nên chúng không song song.

Gọi $O$  là giao điểm của $AC$  và $BD$ . Ta có \(O \in AC\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)\), \(O \in BD\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)\), do đó $O$  thuộc cả hai mặt phẳng trên. (1)

Gọi \(O'\)  là giao điểm của \(A'C'\)  và  \(B'D'\) .

Chứng minh tương tự, \(O'\)  thuộc cả hai mặt phẳng trên.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng \(OO'\) .

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$ .

Tam giác $AB'C$  có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(\widehat {AB'C} = {60^0}\) .

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm \(216:6 = 36\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $x\,\left( {cm} \right)$ , \(x > 0\)

Phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 36\)

\(\Leftrightarrow 4x = 32\)

 \(\Leftrightarrow x = 8\)  (TM )

 Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng $8cm$ .