Cho \({\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - 4{\left( {xy - 4} \right)^2} = \left( {x + y + 5} \right).\left( {x - y + 3} \right)\left( {x + y + m} \right)\left( {x - y + n} \right)\) . Khi đó giá trị của \(m.n\) là
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \({\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - 4{\left( {xy - 4} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - {\left[ {2\left( {xy - 4} \right)} \right]^2}\)
\( = \left( {{x^2} + {y^2} - 17 + 2xy - 8} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 17 - 2xy + 8} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 25} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy - 9} \right)\)
\( = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {5^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - {3^2}} \right]\)
\( = \left( {x + y + 5} \right)\left( {x + y - 5} \right)\left( {x - y + 3} \right)\left( {x - y - 3} \right)\)
Suy ra \(m = - 5;n = - 3 \Rightarrow m.n = \left( { - 5} \right)\left( { - 3} \right) = 15\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.