Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Xét hiệu $P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab$ $= \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}$ $= \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ (luôn đúng với mọi $a,\,b$ )

Nên $\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab$

Ta có $- 2018a <  - 2018b$

$\Leftrightarrow  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)a >  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)b$

$\Leftrightarrow a > b$ .

$\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0$ với mọi $a,b,c$ (vì  ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;$${\left( {b - c} \right)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$ )

Nên $P \ge 0$$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac$ .

Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1)

Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2)

Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$

Chia hai vế cho $2$  được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$

Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$

$= {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,$ với mọi $a,b$ và $a + b > 0$ với $a > 0,b > 0$).

$P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}$$= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}$

Do $a + b > 0;\;ab > 0$ và ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b$ nên $\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0$ hay $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}$.

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\;\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall x,\;y > 0.\end{array}$

$\Rightarrow$ Khẳng định (1) đúng.

$\left( 2 \right):\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0.$

Với $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0.$

$\Rightarrow$ Khẳng định (2) sai.

Khẳng định (1) đúng $\Rightarrow$ Khẳng định (3) sai.

Xét hiệu ${m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)$ ta có:

Vì $0 < m < 1 \Rightarrow m - 1 < 0 \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) < 0.$

Hay ${m^2} - m < 0 \Leftrightarrow {m^2} < m.$

Vậy ${m^2} < m.$