Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,b\) )

Nên \(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)

Ta có \( - 2018a <  - 2018b\)

\( \Leftrightarrow  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)a >  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)b \)

\(\Leftrightarrow a > b\) .

\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì  \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )

Nên \(P \ge 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .

Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1)

Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2)

Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$

Chia hai vế cho $2$  được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$

Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$

$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).

\(P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}} \)\(= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

Do \(a + b > 0;\;ab > 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b\) nên \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0\) hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\;\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall x,\;y > 0.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (1) đúng.

\(\left( 2 \right):\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0.\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (2) sai.

Khẳng định (1) đúng \( \Rightarrow \) Khẳng định (3) sai.

Xét hiệu \({m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\) ta có:

Vì \(0 < m < 1 \Rightarrow m - 1 < 0 \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) < 0.\)

Hay \({m^2} - m < 0 \Leftrightarrow {m^2} < m.\)

Vậy \({m^2} < m.\)