Cho $x > 0;y > 0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

  $\left( 1 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4$                                           

 $\left( 2 \right)\;\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0$

$\left( 3 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) < 4$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\;\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall x,\;y > 0.\end{array}$

$\Rightarrow$ Khẳng định (1) đúng.

$\left( 2 \right):\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0.$

Với $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0.$

$\Rightarrow$ Khẳng định (2) sai.

Khẳng định (1) đúng $\Rightarrow$ Khẳng định (3) sai.