Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

\(\left( 1 \right)\;\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)                                        

\(\left( 2 \right)\;{x^2} + {y^2} < 0\)

\(\left( 3 \right)\;{x^3} + {y^3} \ge {x^2} + {y^2}\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y > 0.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (1) đúng.

\(\left( 2 \right):\;{x^2} + {y^2} < 0.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} > 0.\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (2) sai.

(3) sai vì với \(x = y = \dfrac{1}{2}\) thì \({x^3} + {y^3} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}\) và \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).

Mà \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\) nên \({x^3} + {y^3} < {x^2} + {y^2}\) với \(x = y = \dfrac{1}{2}\).

Vậy chỉ có (1) đúng.