Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta có \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{1}{7}\) .

TH1: \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\) khi \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\)

Phương trình đã cho trở thành \(3x - 1 = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 2x = 5\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\) khi \(3x - 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\)

Phương trình đã cho trở thành \(1 - 3x = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 4x =  - 3 \)\(\Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{4}\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{5}{2}} \right\}\)

Tổng các nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{4}\) .

TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Phương trình đã cho trở thành \(2x = 3 - 3x \Leftrightarrow 5x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {2x} \right| =  - 2x\) khi \(2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

Phương trình đã cho trở thành \( - 2x = 3 - 3x \Leftrightarrow x = 3\,\left( {KTM} \right)\)

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 3\) .

Ta có \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)         

Xét: \(\begin{array}{l} + )\;\;1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ + )\;\;2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)      

Ta có bảng xét dấu đa thức $1 - x$ và $2x - 1$ dưới đây

Từ bảng xét dấu ta có:

TH1: \(x < \dfrac{1}{2}\) khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(1 - x - \left( {1 - 2x} \right) = x - 2 \Leftrightarrow 1 - x - 1 + 2x = x - 2 \Leftrightarrow x = x - 2\)

\( \Leftrightarrow 0 =  - 2\) (vô lý)

TH2: \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\), khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(1 - x - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow  - 3x + 2 = x - 2 \Leftrightarrow  - 4x =  - 4 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)\)

TH3: \(x > 1\) , khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = x - 1\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(x - 1 - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow  - x = x - 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {L} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) .

* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

TH2:  \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x =  - 1;\,x = 2\).

Xét phương trình

\(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 =  - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x =  - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x =  - \dfrac{7}{{12}}.\)

TH1: \(\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) với \(1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(1 - x \ge 3 \Leftrightarrow x \le  - 2\), kết hợp điều kiện \(x \le 1\) ta có \(x \le  - 2\).

TH2: \(\left| {1 - x} \right| = x - 1\) với \(1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 1 \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 4\), kết hợp điều kiện \(x > 1\) ta có \(x \ge 4\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 4,x \le  - 2\)

TH1: \(\left| {x - 6} \right| = x - 6\) với \(x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 6 + 5 \ge x \Leftrightarrow  - 1 \ge 0\) (vô lý)

TH2: \(\left| {x - 6} \right| = 6 - x\) với \(x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 6\).

Bất phương trình đã cho trở thành \(6 - x + 5 \ge x \)\(\Leftrightarrow  - 2x \ge  - 11 \)\(\Leftrightarrow x \le \dfrac{{11}}{2}\), kết hợp điều kiện \(x < 6\) ta có \(x \le  \dfrac{{11}}{2}\).

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{{11}}{2}} \right\}\).

Nghiệm nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là \(x = 5\).

Điều kiện \(209x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

$\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + x + \dfrac{3}{{209}} + ... + x + \dfrac{{100}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \left( {\dfrac{1}{{209}} + \dfrac{2}{{209}} + \dfrac{3}{{209}} + ... + \dfrac{{208}}{{209}}} \right) = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \dfrac{{104.209}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + 104 = 209x\\ \Leftrightarrow x = 104\;\;(TM)$

Vậy \(x = 104.\)