Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

$\left| {2x + 5} \right| = 3$

TH1: $\left| {2x + 5} \right| = 2x + 5$ khi $2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge  - 5 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{5}{2}$

Khi đó $\left| {2x + 5} \right| = 3$$\Rightarrow 2x + 5 = 3 \Leftrightarrow 2x =  - 2$ $\Leftrightarrow x =  - 1\,\left( {TM} \right)$

TH1: $\left| {2x + 5} \right| =  - \left( {2x + 5} \right)$ khi $2x + 5 < 0 \Leftrightarrow 2x <  - 5 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{5}{2}$

Khi đó $\left| {2x + 5} \right| = 3$$\Rightarrow  - \left( {2x + 5} \right) = 3 \Leftrightarrow  - 2x = 8 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x =  - 4;\,x =  - 1$.

TH1: $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$, khi đó $\left| {x - 2} \right| = x - 2$, phương trình trở thành:

$- \left( {x - 2} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow x = 5\left( {TM} \right)$

TH2: $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$ thì $\left| {x - 2} \right| =  - \left( {x - 2} \right)$, phương trình trở thành:

$- \left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 3 = 0$ $\Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x =  - 1,x = 5$.

TH1: $\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3$ nếu $5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}$

Phương trình đã cho trở thành $- \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \Leftrightarrow  - 6x = 4$$\Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\,\left( {KTM} \right)$

TH2: $\left| {5x - 3} \right| =  - \left( {5x - 3} \right)$ nếu $5x - 3 < 0 \Leftrightarrow 5x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}$

Phương trình đã cho trở thành $- \left[ { - \left( {5x - 3} \right)} \right] = x + 7$

$\Leftrightarrow 5x - 3 = x + 7$ $\Leftrightarrow 4x = 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \emptyset$.

TH1: $\left| {x - 3} \right| = x - 3$ khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Phương trình đã cho trở thành $2\left( {x - 3} \right) + x = 3 \Leftrightarrow 2x - 6 + x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right)$ khi $x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3$

Phương trình đã cho trở thành $- 2\left( {x - 3} \right) + x = 3$$\Leftrightarrow  - x =  - 3 \Leftrightarrow x = 3\left( {KTM} \right)$

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 3$.

Đáp án A: $- \left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| =  - 1$

Vì $- 1 < 0$ và $\left| {x + 1} \right| \ge 0$ nên phương trình $\left| {x + 1} \right| =  - 1$ vô nghiệm.

Ngoài ra, có thể kết luận được các phương trình còn lại đều có nghiệm.

Xét phương trình $\left| {x - 3} \right| = 1$

TH1: $\left| {x - 3} \right| = x - 3$ khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Phương trình đã cho trở thành $x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {x - 3} \right| = 3 - x$ khi $x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3$

Phương trình đã cho trở thành $3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình $\left| {x - 3} \right| = 1$ có hai nghiệm phân biệt là $x = 2;x = 4$ hay (1) sai và (3) đúng.

$\left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ nên phương trình $\left| {x - 1} \right| = 0$ có nghiệm duy nhất hay (2) sai.

Vậy có $1$ khẳng định đúng.

Ta có: $\left| {5 - 2x} \right| = \left| {x - 1} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x = x - 1\\5 - 2x = 1 - x\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 = 3x\\4 = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$

Vật nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $x = 2$.

Nếu $3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}$ thì $\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1$.

Khi đó phương trình trở thành $3x - 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow 0x = 0$ (đúng)

Nên $x \ge \dfrac{1}{3}$ luôn là nghiệm của phương trình.

Nếu $3x - 1 < 0 \Leftrightarrow 3x < 1 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}$ thì $\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x$.

Khi đó phương trình trở thành $1 - 3x = 3x - 1 \Leftrightarrow 2 = 6x$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {KTM} \right)$

Do đó phương trình có nghiệm $x \ge \dfrac{1}{3}$ hay phương trình có vô số nghiệm.

TH1: $\left| {2x} \right| = 2x$ khi $2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$

Phương trình đã cho trở thành $5 - 2x =  - 3x \Leftrightarrow 5 =  - 3x + 2x$ $\Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {KTM} \right)$

TH2: $\left| {2x} \right| =  - 2x$ khi $2x < 0 \Leftrightarrow x < 0$

Phương trình đã cho trở thành $5 + 2x =  - 3x \Leftrightarrow 5 =  - 5x$ $\Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 1$.

Ta có:         

$\begin{array}{l} + )\;x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\ + )\;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$      

Ta có bảng:

TH1: $x <  - 2$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( { - x - 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 + x + 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array}$

TH2: $- 2 \le x \le  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2x - 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {TM} \right)\end{array}$

TH3: $x >  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow x + 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 4\left( {KTM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 2$.

* Xét phương trình $4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)$

TH1: $\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1$ khi $x \ge \dfrac{1}{2}$

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)$

TH2:  $\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x$ khi $x < \dfrac{1}{2}$

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm nguyên $x =  - 1;\,x = 2$ nên A và D đúng.

Xét phương trình

$\begin{array}{l}\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 =  - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x =  - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm là $x = \dfrac{5}{2};x =  - \dfrac{7}{{12}}$ nên B đúng.

Dễ thấy các nghiệm của $\left( 1 \right)$ không trùng với các nghiệm của $\left( 2 \right)$ nên hai phương trình không tương đương hay C sai.

TH1: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}$. Khi đó bất phương trình trở thành:

$2x - 3 < 3 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3$

Kết hợp với $x \ge \dfrac{3}{2}$ ta được: $\dfrac{3}{2} \le x < 3$.

TH2: $2x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}$. Khi đó bất phương trình trở thành:

$- 2x + 3 < 3 \Leftrightarrow  - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Kết hợp với $x < \dfrac{3}{2}$ ta được: $0 < x < \dfrac{3}{2}$.

Kết hợp nghiệm của hai trường hợp ta được: $\left[ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2} \le x < 3\\0 < x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 3$.

Vậy bất phương trình có nghiệm $0 < x < 3$.

TH1: $- x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$ thì $\left| { - x + 2} \right| =  - x + 2$. Khi đó,

$\left( { - x + 2} \right) + 5 \ge x - 2$ $\Leftrightarrow  - x + 7 - x + 2 \ge 0$ $\Leftrightarrow  - 2x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{9}{2}$

Kết hợp với $x \le 2$ ta được: $x \le 2$.

TH2: $- x + 2 < 0 \Leftrightarrow x > 2$ thì $\left| { - x + 2} \right| = x - 2$. Khi đó,

$x - 2 + 5 \ge x - 2 \Leftrightarrow 5 > 0$ (luôn đúng)

Do đó $x > 2$ luôn là nghiệm của bất phương trình.

Vậy từ hai trường hợp ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 1$.

NX: $VT \ge 0$ nên $VP = 2020x - 2020 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Khi đó $x - \dfrac{1}{{2020}} > 0$, $x - \dfrac{2}{{2020}} > 0$,…,$x - \dfrac{{2019}}{{2020}} > 0$

Phương trình trở thành:

$x - \dfrac{1}{{2020}} + x - \dfrac{2}{{2020}} + x - \dfrac{3}{{2020}} + ... + x - \dfrac{{2019}}{{2020}} = 2020x - 2020$

$\Leftrightarrow 2019x - \left( {\dfrac{1}{{2020}} + \dfrac{2}{{2020}} + ... + \dfrac{{2019}}{{2020}}} \right) = 2020x - 2020$

$\Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + 2019}}{{2020}} = 2020x - 2020$

$\Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{\left( {1 + 2019} \right).2019}}{{2.2020}} = 2020x - 2020$

$\Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{2019}}{2} = 2020x - 2020$

$\Leftrightarrow 2020 - \dfrac{{2019}}{2} = 2020x - 2019x$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{{2021}}{2}\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{{2021}}{2}$.

 $\left| {2x - 5} \right| = 3$

TH1: $\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5$ khi $2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 5 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}$

Khi đó $\left| {2x - 5} \right| = 3$$\Rightarrow 2x - 5 = 3 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\left( {TM} \right)$

TH1: $\left| {2x - 5} \right| =  - \left( {2x - 5} \right)$ khi $2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}$

Khi đó $\left| {2x - 5} \right| = 3$$\Rightarrow  - \left( {2x - 5} \right) = 3 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 4;\,x = 1$ .

TH1: $\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x$ khi $3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}$

Phương trình đã cho trở thành $2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10$$\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4$$\Leftrightarrow 3 - 4x = 2$$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {3 - 4x} \right| =  - \left( {3 - 4x} \right)$ khi $3 - 4x < 0$$\Leftrightarrow 4x > 3$$\Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}$

Phương trình đã cho trở thành $2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10$$\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4$$\Leftrightarrow 4x - 3 = 2$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)$

Phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}$ .

TH1: $\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3$ nếu $5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}$

Phương trình đã cho trở thành $5x - 3 = x + 7$$\Leftrightarrow 4x = 10$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {TM} \right)$ .

TH2: $\left| {5x - 3} \right| =  - \left( {5x - 3} \right)$ nếu $5x - 3 < 0$$\Leftrightarrow 5x < 3$$\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}$

Phương trình đã cho trở thành $- \left( {5x - 3} \right) = x + 7$$\Leftrightarrow  - 6x = 4$$\Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right).$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}$ .

TH1: $\left| {x - 3} \right| = x - 3$ khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Phương trình đã cho trở thành $x - 3 + 3x = 7$$\Leftrightarrow 4x = 10$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)$

TH2: $\left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right)$ khi $x - 3 < 0$$\Leftrightarrow x < 3$

Phương trình đã cho trở thành $- \left( {x - 3} \right) + 3x = 7$$\Leftrightarrow 2x = 4$$\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 2$.

* Xét $\left| {x - 1} \right| = 1$

TH1: $\left| {x - 1} \right| = x - 1$ khi $x \ge 1$ , nên ta có phương trình $x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {x - 1} \right| = 1 - x$ khi $x < 1$ , nên ta có phương trình $1 - x = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)$

Vậy $S = \left\{ {0;2} \right\}$

* Xét $\left| {x + 3} \right| = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x =  - 3$  nên $S = \left\{ { - 3} \right\}$

* Xét $\left| {2x} \right| = 10$

TH1:  $\left| {2x} \right| = 2x$  khi $x \ge 0$ nên ta có phương trình $2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {2x} \right| =  - 2x$ khi $x < 0$ nên ta có phương trình $- 2x = 10 \Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy $S = \left\{ {5; - 5} \right\}$

* Xét $\left| x \right| =  - 9$. Thấy rằng $\left| x \right| \ge 0;\,\forall x$ mà $- 9 < 0$ nên $\left| x \right| >  - 9$ với mọi $x$. Hay phương trình $\left| x \right| =  - 9$ vô nghiệm.

Xét phương trình $\left| {x - 3} \right| = 1$

TH1: $\left| {x - 3} \right| = x - 3$ khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Phương trình đã cho trở thành $x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {x - 3} \right| = 3 - x$ khi $x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3$

Phương trình đã cho trở thành $3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình $\left| {x - 3} \right| = 1$ có hai nghiệm $x = 2;x = 4$.

Nên $x = 4$ là nghiệm của phương trình $\left| {x - 3} \right| = 1$.

Khẳng định đúng  là (2) và (3).