Số nghiệm của phương trình $\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3$ là:

Ta có:         

$\begin{array}{l} + )\;x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\ + )\;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$      

Ta có bảng:

TH1: $x <  - 2$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( { - x - 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 + x + 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array}$

TH2: $- 2 \le x \le  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2x - 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {TM} \right)\end{array}$

TH3: $x >  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow x + 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 4\left( {KTM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 2$.